Sezgisel olarak, konformal ve ortogonal dönüşümler veya genel olarak terimler arasındaki genel örtüşme / fark nedir?

Question

Pratik / geometrik terimlerle ikisi arasındaki farkların net bir tanımını bulmakta güçlük çekiyorum. Ortogonal dönüşümler, koordinat yüzeylerinin veya yörüngelerin dik açılarda karşılaştığı dönüşümlerdir ve konformal dönüşümler, açıları koruyanlardır.

Kavramların nasıl örtüştüğünü ve nasıl farklı olduklarına dair belirsiz bir sezgiye sahip olduğumu görebiliyorum, ancak özellikle Jacobian ve alanı koruma özellikleri gibi kavramlarla ilgili diferansiyel / vektör hesabı bağlamında, tam ayrımlarını açıklamakta güçlük çekiyorum. , ortogonal yörüngeler için diferansiyel denklemler, integral dönüşümler, vb.

Ya da daha doğrudan bir ifadeyle, bir şey ne zaman ortogonaldir, ancak uyumlu değildir ve bunun tersi de geçerlidir ve ne zaman ikisi de olur?

Answer 1

Konformal bir doğrusal harita, bir homotiyet (uzama) ve bir ortogonal doğrusal haritanın bileşimidir.

Answer 2

Sezginin en önemli kısmı şudur: Özel ortogonal dönüşümler rotasyonlardır. Ortogonal dönüşümler, rotasyonlar artı yansımalardır. Konformal dönüşümler rotasyonlar artı genişlemelerdir. Konformal ve anti konformal dönüşümler, rotasyonlar artı genişleme artı yansımalardır.

Matematiksel olarak konuşursak, bunun anlamı: Ortogonal dönüşümler skaler ürünü korur. Özel ortogonal dönüşümler de yönelimi (pozitif belirleyici) korur. Konformal ve anti konformal dönüşümler açıları korur. Uyumlu dönüşümler aynı zamanda yönelimi de korur (pozitif belirleyici). Daha doğrusu, ortogonal dönüşümler$T$ tatmin etmek

$$\langle Tv,Tw\rangle=\langle v,w\rangle,$$

özel ortogonal dönüşümler ayrıca

$$\det T>0.$$

Ortogonal dönüşümlerin zaten tatmin ettiği bile gösterilebilir $\det T=\pm1$, yapımı $\det T=1$özel ortogonal dönüşümler için. Konformal ve anti konformal dönüşümler$S$ tatmin etmek

$$\frac{\langle Sv,Sw\rangle}{\Vert Sv\Vert\Vert Sw\Vert}=\frac{\langle v,w\rangle}{\Vert v\Vert\Vert w\Vert},$$

(için $v,w\neq0$) uyumlu haritalar ek olarak $\det S>0$. Bunun (anti) konformal dönüşümleri sıfır olmayan bir sabitle çarpılan ortogonal haritalara eşit yaptığı gösterilebilir. (Anti) konformal dönüşümler bu nedenle ek bir genişleme ile ortogonal dönüşümlerdir. Bu dönüşümleri içeren çeşitli grupları çağırırsak$\operatorname{O},\operatorname{SO}$ (ortogonal ve özel ortogonal), $\operatorname{CO}$ (uyumlu artı anti-konformal) ve $\operatorname{CSO}$ (sadece uyumlu), o zaman aşağıdaki ilişkilere sahibiz:

$$ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{O}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{CSO}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{CO}=I\cdot\operatorname{O}\\ \operatorname{CSO}=I\cdot\operatorname{SO},$$

nerede $I$ genişleme grubudur.