Simetrik polinomu ayrıştırın $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ temel simetrik polinomlara.
Kullanmaya çalıştığım yöntem ikisini de içerir (örneğin, tüm üsler eşit olmadığında $\Sigma{x_1x_2^2}$) Mümkün olan en yüksek eşit üslere sahip tek terimliyi tekrar tekrar çıkarmak (yani yukarıdaki eşit olmayan üs örneği için) $(\Sigma{x_1})(\Sigma{x_1x_2})$) veya soru başlığında olduğu gibi, tüm üsler eşit olduğunda üssü toplamın dışına taşımak, yani benim sorduğum şey, yani buradaki ilk adım $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ = $(\Sigma{x_1x_2x_3})^2$. Açıkçası bu$E_3^2$, 2 arasında kaç değişkenin ortak olduğuna bağlı olarak çıkarılması gereken terimlerle birlikte $E_3$'günah $E_3^2$: 0, 1 veya 2. Hiçbiri ortak değilse, ikisinden birini kullanabilirsiniz. $E_3$Toplam 6 belirsizlik arasından 3'ünün seçimini belirlemek için, böylece terim $2E_6$. Benim düşünceme şuydu, eğer 1 belirsiz ortak yanaysa, daha da parçalanması gereken bir ifade elde edersiniz, yani$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$, ile çarpılacak $E_2$. Benzer şekilde, eğer 2 belirsizlik ortaksa, daha da parçalanması gereken bir ifade elde edersiniz, yani$\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$, ile çarpılacak $E_1$. Şimdiye kadar bunu çözme girişimim belki de kitap cevabına doğru gidiyor gibi görünüyor.$E_3^2 + 2E_1E_5 - 2E_2E_4 -2E_6$. Ama daha fazla ayrıştırmada bir sonraki adımım$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$ ve $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$ daha karmaşık terimlere yol açtı ve görebildiğim kadarıyla hiçbir iptalin, yalnızca $E_1E_5$, $E_2E_4$, ve $E_6$ çıkarmak $E_3^2$. Ayrıca kitap,$E_1E_5$geri terim, yanlış anladığım, belki de iptali içeren bir dizi ayrıştırma olduğunu öne sürüyor. Bunu nerede yanlış anladığımı kimse gösterebilir mi?
Yanıtlar
Hatanızın anahtarı, her bir $E_6$ sadece iki kez değil, aslında ${6 \choose 3} = 20$zamanlar. Öte yandan, bir$\sum x_1^2x_2x_3x_4x_5$ aslında var ${4 \choose 2} = 6$ aynı ifadeyi kurmanın yolları $\sum x_1^2x_2^2x_3x_4$kurulumunun yalnızca iki yolu vardır. Ayrıca, oluşturulan yeni tek terimliler, örnekleriniz kadar basit değildir ve tüm ifade 6. derece olması gerektiğinden görülmesi kolaydır.
Tek terimli verildiğinde açıklamak için $abcdef$ içinde $E_6$, bu tek terimliyi $abc \cdot def$, $abd \cdot cef$vb. 6 eserden 3 element seçmenin tüm yolları. Verilen$abcde^2$ içinde $E_5E_1$tek terimliyi $abe \cdot cde$, $ace \cdot bde$vb. 4 eserden 2 element seçmenin tüm yolları. Bu kesin süreç, aşağıdaki hesaplamada katsayıları belirlemek için kullanılır.
Bu hesaplama çok hataya açık olduğundan, sadece baştan sona tüm hesaplamayı yapacağım, ardından sonuçlarınızı bu adımlarla kontrol edebilirsiniz.
Gösterim: $S_n = E_n, P_{a, b, c, ...} = \sum \limits_{\text{sym}} x_1^ax_2^bx_3^c...$, nerede $S_n$ temel simetrik polinomlar için alternatif bir gösterimdir ve $P_{a,b,c...}$ Muirhead tipi kısaltmadır.
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2P_{2,2,1,1} - 6P_{2,1,1,1,1} - 20S_6$ (Sonuç 1)
$P_{2,2,1,1} = S_2S_4-4P_{2,1,1,1,1}-15S_6$ (Sonuç 2)
$P_{2,1,1,1,1} = S_1S_5-6S_6$ (Sonuç 3)
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2P_{2,1,1,1,1} +10S_6$ (1. ve 2. sonuçları kullanarak -> sonuç 4)
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2S_1S_5 - 2S_6$ (4. ve 3. sonuçları kullanarak -> Cevapla)
Ve bitirdik. Tek şey dikkatli çalışma ve hesaplama, çılgınca bir şey değil.