Sınırı değerlendirin $\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $

Question

Sıkıştırma / sandviç teoremini kullanarak bu sıra sınırını nasıl değerlendiriyorsunuz? $$\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $$

Nereden başlayacağımı gerçekten bilmiyorum. Gerçeğini kullanmayı denedim$\lim_{n \to \infty} \left(3^n\right)^{\frac1n} = 3$ (doğru cevap budur) ama oradan nereye gideceğimi bilmiyorum.

Teşekkürler!

Answer 1

Bizde var

$$3=(3^n)^{1/n}\le (3^n+1)^{1/n}\le (3^n+3^n)^{1/n}=3\cdot2^\frac1n$$

daha sonra sıkıştırma teoremi ile sonuçlandırın.

Answer 2

Kullanabilirsiniz $3=(3^n)^{1/n} \leq(3^n + 1)^{1/n} \leq (3^n+3^n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot 3$

Answer 3

Logaritma ile: ifadeyi şu şekilde yeniden yazın: $$ e^{\frac{1}{n}(\log 3^n + \log (1+\frac{1}{3^n})} $$ İlk terim $3$. İkincisi kolay sınırlara sahiptir:$$ 0<\log (1+\frac{1}{3^n})<\log 2 $$ ve bu nedenle, $$ 1<e^{\frac{1}{n}\log (1+\frac{1}{3^n})}<e^{\frac{\log 2}{n}} \to_n 1 $$

Answer 4

Biraz farklı bir yol almak $3^n$ dışında $(3^n+1)^{1/n}$, yani $$ (3^n+1)^{1/n}=3(1+3^{-n})^{1/n} $$ Şimdi şunu not et $1\leqslant 1+3^{-n}\leqslant 2$ her biri için $n\in \mathbb N $, bu nedenle ulaştığımız eşitsizlikte sınırlar almak $$ 1\leqslant \lim_{n\to\infty}(1+3^{-n})^{1/n}\leqslant \lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1 $$ ve bu yüzden $$ \lim_{n\to\infty}(3^n+1)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}3(1+3^{-n})^{1/n}=3 $$

Answer 5

Düşünmek $y = (3^n + 1)^\frac{1}{n}$ artık logaritmayı her iki tarafa da etkiliyor:$$\ln{y} = \frac{\ln{(3^n + 1)}}{n}$$ tabii ki $n$ sonsuza gider, logaritmanın içinde 1'i çıkarabiliriz, sonra kolayca elde ederiz: $\ln{y} = \ln 3$ ne zaman $n$sonsuza gider. yani cevap:$$y = 3$$

Answer 6

Nerede $n$ yeterince büyük $3^n$ bundan çok daha büyük $1$ihmal edilebilir (bunu fark edebiliriz $100000000000000000000$ ve $100000000000000000001$ "neredeyse" aynıdır).

Yani $3^n+1 \sim_{n \to \infty} 3^n$ Bu gerçekle birlikte $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n+1}{3^n}=1$ hızlı ve geri kalanı kolayca yapılabilir.

Answer 7

$$ \displaystyle\left(3^{n} + 1\right)^{1/n} = 3\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{1/n} = 3\left[\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{3^{\large n}}\right]^{1/\left(3^{\large n}n\right)} \,\,\,\stackrel{\mathrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbox[#ffd,10px,border:1px groove navy]{\large 3} $$