Sonsuz sayıda asalın varlığını kanıtlamak için Lemma

Question

Bu problem, Gerstein'ın Matematiksel Yapılar ve Kanıtlara Giriş kitabından . Problemin b kısmı, sonsuz sayıda asal sayı olduğuna dair belirli bir tür kanıt vermektir. Bölüm a, gerekli lemma ile ilgileniyorum. Bölüm a belirtilmiştir:

Bunu göster $n \ge 3$ o zaman tatmin edici bir p asal sayısı var $n \lt p \le n!-1$.

Bir ipucu var:

"P'nin asal bölenini düşünün $(n-1)!-1$. P neden var? "

İşte benim çözüm girişimim:

p vardır çünkü her tamsayının bir asal bölen vardır. K. Asal için$p_k$, tanımlamak

$p_k!!=\Pi_{i=1}^{k} p_i$ nerede $p_i$ i-inci üssüdür.

P sembolü asal bölen $(n-1)!-1$. Benim varsayım şudur:$p!!+1$asal. Sadece gerekli aralıkta olduğunu göstermemiz gerekiyor.

(Kanıtlamamış olsam da) şunu varsaymak mantıklıdır: $p!!+1 > n$.

$p!!$n'den daha az tam sayı olan, her biri p'ye eşit veya p'ye eşit, n'den küçük veya n'ye eşittir. Yani$p!!+1\le n!-1$ ve olduğu gibi iddia edilen kanıt tam olacaktır.

Bu argümanın herhangi bir değeri var mı? Değilse, önerme nasıl gösterilebilir?

Answer 1

$13!!+1=30031=59\cdot509$ asal değildir, bu nedenle argüman işe yaramaz.

Ancak, kesinlikle doğrudur $n!-1$ baş bölen $p$ve açıkça $p\le n!-1$bu yüzden sadece bunu göstermemiz gerekiyor $p>n$. Dan beri$p\mid n!-1$, Açıkça $p\not\mid n!$; ama her pozitif tam sayı$\le n$ böler $n!$, yani $p$ olamaz $\le n$. Böylece sahip olmalıyız$n<p\le n!-1$.