Standart bir model olabilir mi? $\sf ZFC$ geçişsiz olmadan tüm sıra sayılarını içeriyor mu?
Standart bir ZFC modeli ile, küme veya uygun bir sınıf olabilen ve temel ilişkisi gerçek ilkellik ilişkisi olan bir ZFC modelini kastediyorum. Bir geçişli ZFC modeli, aynı zamanda, bir geçişli sınıf ZFC standart bir modeldir. Mostowski çöküş lemmasına göre, her standart ZFC modeli, benzersiz bir izomorfizm yoluyla benzersiz bir ZFC geçiş modeline izomorfiktir. Sorum şu: Geçişli bir ZFC modelini standart ancak geçişsiz ZFC modeline her zaman "ayrıştırabilir" mi? Örneğin, minimum iç modele geçişsiz bir standart ZFC izomorfik modeli var mı?$L$? Ve ayrıca, minimum iç modele izomorfik olan tüm sıra sayılarını içeren geçişsiz bir standart ZFC modeli var mı?$L$?
Düzenleme: Yapılan faydalı yorumlar göz önüne alındığında (ilk iki sorunun cevabı evet), kalan tek soru sonuncu: Minimal içsel ile izomorfik olan tüm sıra sayılarını içeren geçişsiz bir standart ZFC modeli var mı? model $L$? O zaman değilse$L$sadece minimal iç model değil, tüm sıra sayıları içeren minimal standart modeldir. Daha genel olarak, tüm sıra sayılarını içeren geçişsiz bir standart ZFC modeli var mı?
Yanıtlar
Rodrigo Freire'nin yorumlarda belirttiği gibi, yanlış olduğu için önceki cevabımı sildim.
Aslında, sıra sayıları sıra sayılarının ilk bölümü olan geçişsiz bir modele sahip olmak mümkündür. Şunu söyle$M$ geçişli bir modeldir öyle ki $M\neq V_\alpha$ herhangi $\alpha\in\rm Ord\cup\{Ord\}$ (nerede $V_{\rm Ord}$sadece tüm evren). Sonra en küçüğü var$\alpha$ böyle $\alpha\in M$ ve $\mathcal P(\alpha)^M\neq\mathcal P(\alpha)$.
Tanımlamak $N$ özyinelemeli olarak değiştirilerek elde edilen model olmak $\mathcal P(\alpha)^M$ tarafından $\mathcal P(\alpha)$, hatta bu koleksiyona yeni bir set ekleyerek. Sonra$N$ standart bir modeldir, sıra sayıları sıra sayılarının ilk bölümüdür, ancak geçişli değildir.
Eğer alırsak $M=L$ ve $V\neq L$, o zaman elbette bir model elde edebiliriz $V=L$ hangisi değil $L$.
Asaf Karagila soruyu cevapladı, ancak asaf karagila $L$ Jesse Elliot'ın son paragrafında sorduğu gibi önceki cevabı yönünde.
Öncelikle, küme teorisinin standart modelleri (bu soru anlamında) geçişli modellere izomorfik oldukları için çok fazla kullanmadığını söylediğim için özür dilerim. Bu yüzden onlara pek alışık değiliz. Ancak, aslında geçişli bir modeli "çökertmek" kolaydır$M$: bir öğe al $a\in M$ ve her yerde transit olarak değiştirin $a\cup \left\{a\right\}$. Eğer$a$ sıralı değildir, bu durumda ortaya çıkan standart model, sıralı $M$.
Şimdi, daha olumlu bir yönde, kısmi bir minimumluk sonucunu inceleyelim. $L$:
-İzin Vermek $M\subseteq L$Sıra sayıları gerçek sıra sayıları olacak şekilde standart bir model olun. Sonra$M=L$ inşa edilebilir düzen dışında $Od$ (bakınız Shoenfield, ML, sayfa 272) $L^M$.
kanıt: İlk dikkat edin$L^M=\left\{x\in M : (x\in L)^M\right\}$sıra sayıları gerçek sıra sayıları olan standart bir modeldir. Eğer$L^M$ geçişliydi, sonra içerecekti $L$dolayısıyla $M$ eşit olacaktır $L$. Öyleyse varsayalım ki$L^M$ geçişli değildir.
İzin Vermek $K$ geçişli çöküşü olmak $L^M$. Resmi$K$ geçişli bir modelidir $ZF$ tüm sıra sayılarını içeren ve içinde bulunan $L$, İşte bu $L$. İzin Vermek$x$ geçişkenliğine asgari bir karşı örnek olmak $L^M$. Sonra$K(x)\neq x$, yani $Od(K(x))\neq Od(x)$ (hatırlamak $M\subseteq L$dolayısıyla $Od$ tüm unsurları için tanımlanmıştır $M$ve enjekte edici). Dan beri$K$ bir izomorfizmdir $L^M$ -e $L$, $K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))$. Mutlaklık hipotezinden,$Od^{L^M}(x)=Od(x)$.
Bu nedenle,
$K(Od(x))=K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))\neq Od(x)$,
yani $Od(x)$ tarafından taşınan bir sıra $K$. Bu, sıralı sayıların hipoteziyle çelişir.$M$ tam olarak sıra sayılarıdır.