Standart olmayan analiz yerine sıradan analiz kullanarak fiziğe yaklaşma
Bildiğim kadarıyla, fizikte, analize standart olmayan analiz kullanılarak yaklaşılır. $dx$, $dy$vb. (sonsuz küçükler), yaklaşan bir şey olarak değerlendirildikleri sınırlar kullanan standart analiz yaklaşımı yerine sabit, son derece küçük miktarlar olarak kabul edilir. $0$.
Standart olmayan yaklaşımın çok sezgisel ve anlaşılması kolay olduğunu anlıyorum. Aslında, sonsuz küçüklerle ilgili felsefi sorularla karşılaştığım birkaç gün öncesine kadar standart olmayan yaklaşımla analiz yapıyordum. Bu yaklaşım nedeniyle kafam çok karıştı ve kalkülüse limitleri kullanarak yaklaştığımda, tamamen yeni bir anlayış ve kavramsal netlik kazandığımı hissettim.
Şimdi, fizikte, bir işlev için $f$, $f'(x)$ veya $\dfrac{df}{dx}$ değişim oranı olarak yorumlanır $f(x)$ çok küçük bir değişiklikle $x$yani $dx$. Aynı zamanda yaklaşık olarak eğrisine teğet eğimi olarak yorumlanır.$f$ -de $(x,f(x))$. Bu yaklaşım ve geometrik sezgi aynı zamanda hesabın temel teoremini türetmek için de kullanılır.$F(a)$ eğrisinin altındaki alanı verir $f(x)$ itibaren $x = 0$ -e $x = a$yani $$F(a) = \int_0^a f(x)dx$$ Sonra, $$\int_a^bf(x)dx = \int_0^bf(x)dx - \int_0^af(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\Bigg|_a^b$$ nerede : $$F'(x) \text{ or } \dfrac{dF}{dx} = f(x)$$ Standart olmayan yaklaşım, aşağıdaki gibi türetilen işinki gibi belirli formülleri türetmek için de kullanılır:
- Sonsuz küçük bir yer değiştirme için $dx$, yapılan sonsuz küçük iş yani $dW$ dır-dir $F_2(x)\cdot dx$
- Yapılan toplam iş miktarı, yani $W$, dır-dir $\int_a^bF_2(x)\cdot dx$ (Not: burada, $F_2(x)$ konumdaki parçacığın maruz kaldığı kuvveti gösterir $(x)$. Örneğin, elektrostatik kuvvetten bahsediyorsak,$F_2(x) = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0x^2}$.)
Yani, temel olarak, fizikte kullanılan analizin çoğuna sonsuz küçükler ve standart olmayan analizler kullanılarak yaklaşılır.
Ancak, standart analiz bana çok daha katı görünüyor ve çok daha mantıklı geliyor. Birkaç arkadaşıma öğretmenlerine standart olmayan analiz yerine fizikte standart analizin nasıl kullanılabileceğini sormuştum ama öğretmenlerin hiçbiri rahatsız görünmüyordu.
Bu yüzden, standart analiz yoluyla fiziğe nasıl yaklaşabileceğimi bilmek istiyorum.
PS: Ben 10 şu anda olduğum inci sınıf ve sadece 11 temel örtülü var inci dereceli henüz. İleri matematik hakkında fazla bilgi sahibi olmadan anlayabileceğim bir cevap takdir edilecektir.
Düzenleme: Aldığım iki cevap için çok minnettarım. Qmechanic ve PM 2Ring kullanıcılarının belirttiği gibi, standart olmayan analiz ve sonsuz küçüklerin sezgisel kullanımının tek ve aynı olduğunu varsayıyorum . Açıklığa kavuşturmak isterim ki, 'standart olmayan analiz' terimini her kullandığımda, aslında$dy$, $dx$vb. gerçek, çok küçük sayılar ve $\dfrac{dy}{dx}$ oran olarak ...
Yanıtlar
Bu nedenle, temel olarak, Fizikte kullanılan Kalkülüs'ün çoğuna sonsuz küçükler ve standart olmayan analizler kullanılarak yaklaşılır.
Bu öncül doğru değil. Sonsuz küçüklerle ilgili fizik argümanları "standart olmayan analizdeki" tipik argümanlara benzeyebilirken, temel fizik genellikle standart olmayan analiz kullanıp kullanmadığına açıkça karar verebileceğiniz titizlik seviyelerinde çalışmaz. Fizik, analizin temel sorularıyla ilgilenmez ve örneğin, bir fonksiyonun türevi, hangi temeli kullandığınıza bakılmaksızın eğimine bir yaklaşımdır (temelinize bağlı olarak bunu elde etmek az ya da çok iş olabilir, ancak yine de herzaman doğru).
Kesinlik arıyorsanız, fiziksel "sonsuz küçüklerin" standart diferansiyel formlar açısından eşit derecede geçerli bir yorumu vardır , örneğin$\mathrm{d}W = F(x)\mathrm{d}x$ basitçe adı verilen 1-formun tanımıdır $\mathrm{d}W$, yolların üzerindeki integrali $\gamma$ iş olarak tanımlanır $W[\gamma] = \int_\gamma \mathrm{d}W$ Yol boyunca.
NSA ile standart analiz arasında kesinlik açısından bir fark yoktur. (Model teorisi açısından, bunlar eşit tutarsızdır.) Bununla birlikte, fizik makalelerinde ve kitaplarında gördüğünüz sonsuz küçük analizlerin çoğunun, NSA'ya dönüştürülmesi için biraz yeniden çalışılması veya detaylandırılması gerekir.
İki dil arasında ileri geri çeviri yapmak genellikle önemsizdir. Bilim adamları ve mühendisler her ikisinde de akıcı olmalıdır.