$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b (x-[x]-\frac{1}{2})\phi '(x)\, dx+(a-[a]-\frac{1}{2})\phi (a)-(b-[b]-\frac{1}{2})\phi (b)$

Aug 16 2020

Titchmarsh'ın The Theory of the Riemann Zeta-Function'tan , sayfa 13:

İzin Vermek $\phi (x)$ aralıkta sürekli türevi olan herhangi bir fonksiyon olabilir $[a,b]$. O zaman eğer$[x]$ aşmayan en büyük tamsayıyı gösterir $x$, $$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b \left(x-[x]-\frac{1}{2}\right)\phi '(x)\, dx+\left(a-[a]-\frac{1}{2}\right)\phi (a)-\left(b-[b]-\frac{1}{2}\right)\phi (b).$$

Kitapta bunun kanıtı yok ve bu teoremin 'adı' ne bilmiyorum. Bu teoremi anlamak isterim ama nereden başlayacağımı bilmiyorum.

Yanıtlar

3 OliverDiaz Aug 16 2020 at 00:01

İzin Vermek $\rho(t)=\frac12 -(t-[t])=\frac{1}{2} - \{t\}$, nerede $\{t\}$ kesirli kısmı $t$.

İspat taslağı:

Detayları sana bırakıyorum. İşte bu kimliğe yaklaşmanın bir yolu.

  • İlk önce şunu fark et $\rho$ bir $1$-periodik fonksiyon ve bu $\rho'(t)=-1$ için $x\in [k,k-1)$, $k\in\mathbb{Z}$. İçin$k\leq \alpha<b\leq k+1$, parçalara göre entegrasyonu iki kez kullanın (bir kez $u=f(t)$ ve $dv=\rho'(t)\,dt$; ve bir başkasıyla$u=f'(t)$ ve $dv=\sigma'(t)\,dt=\rho(t)\,dt$) almak

$$ \begin{align} -\int^\beta_\alpha f(t)\,dt &= \int^\beta_\alpha f(t)\rho'(t)\,dt\\ &=\rho(\beta-)f(\beta)-\rho(\alpha)f(\alpha)-\int^\beta_\alpha \rho(t)\,f'(t)\,dt \end{align} $$

Artık tam sayı aralıkları ekleyebilirsiniz $[k,k+1]\subset(a,b]$ ve sonra potansiyel olarak kesirli aralıklarla $(a,[a]+1]$, $[[b],b]$ istenen sonucu elde etmek için.


Düzenleme: Daha genel ve zarif bir kanıt parçalarla entegrasyonla elde edilebilir:

Lemma: Bırak$F$ ve $G$ yerel olarak sonlu değişimin sağ-sürekli fonksiyonları olabilir $I$ve izin ver $\mu_G$, $\mu_F$ imzalanan önlemler $G$ ve $F$sırasıyla. Ardından, herhangi bir kompakt aralık için$[a,b]\subset I$, $$ \begin{align} \int_{(a,b]} F(t)\,\mu_G(dt)=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{(a,b]}G(t-)\,\mu_F(dt) \end{align} $$ nerede $G(t-)=\lim_{s\nearrow t}G(s)$.

OP için,

Sayma ölçüsünü düşünün $\mu(dt)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta_{n}$ ve Lebesgue ölçümü $\lambda$, her ikisi de tanımlanmış $(\mathbb{R}\mathscr{B}(\mathbb{R}))$. İzin Vermek$\phi(dt)=(\lambda-\mu)(dt)$. Dikkat edin$\Phi(t):=\phi((0,t])=t-[t]=\{t\}$.

$$ \begin{align} \sum_{a< n\leq b}f(n)-\int^b_af(t)\,dt &=-\int^b_af(t)\,(\mu(dt)-\lambda(dt))=-\int^b_af(t)\phi(dt) \end{align} $$

Yukarıdaki Lemma'yı uygulayarak $f$ yerine $F$ ve $\Phi$ yerine $G$bizde var $\mu_f(dt)=f'(t)\,dt$ ve $\mu_{\Phi}(dt)=\phi(dt)$ ve bu yüzden,

$$ \begin{align} \int^b_af(t)\phi(dt) &= f(t)\Phi(t)|^b_a -\int^b_a\Phi(t-)\, f'(t)\,dt\\ &=f(b)\{b\}-f(a)\{a\}-\int^b_a\Phi(t)\,f'(t)\,dt\\ &= f(b)(b-[b])-f(a)(a-[a)] -\int^b_a(t-[t])\,f'(t)\,dt \end{align} $$

değişim nereden $\Phi(t-)$ -e $\Phi(t)$ gerçeğinden hareketle $\Phi(t-)=\Phi(t)$ $\lambda$-gibi

Sonuç, toplama ve çıkarma ile devam eder $\frac12$ son integralde.

1 Diger Aug 16 2020 at 03:48

Bu Abel-Summation tarafından: $$\sum_{a<n\leq b} f(n) = f(b) \sum_{a<n\leq b} 1 - \int_a^b \sum_{a<n\leq t} 1 \cdot f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \left( \lfloor b \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) - \int_a^b \left( \lfloor t \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \lfloor b \rfloor - f(a) \lfloor a \rfloor + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - t \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \left( a - \lfloor a \rfloor - \frac{1}{2} \right) - f(b) \left( b - \lfloor b \rfloor - \frac{1}{2} \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \, B_1\left( a - \lfloor a \rfloor \right) - f(b) \, B_1\left( b - \lfloor b \rfloor \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b B_1\left( t - \lfloor t \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \, ,$$ nerede $B_1(x)$ilk Bernoulli polinomudur. Daha önce bahsedildiği gibi,$1/2$-termler gereksizdir.

Parçaları kullanarak ardışık olarak entegre ederek $\int B_n(x) \, {\rm d}x = \frac{B_{n+1}(x)}{n+1}$, Euler-Maclaurin formülünü elde edersiniz, eğer $a,b$ tam sayıdır.