Tamamlayıcı alt uzaylar, Doğru / Yanlış soru

Question

Doğru ya da yanlış?

$W_1$, $W_2$ ve $W_3$ vektör uzayından alt uzaylardır $V$. Eğer$W_1 ⊕ W_2 = V$ ve $W_1 ⊕ W_3 = V$ , sonra $W_2 = W_3$.

Aslında bu küçük soruyu bir sınavda sormuştum ve doğru olduğunu söyledim ama daha sonra yanlış olduğu söylendi. Biri bana nedenini açıklayabilir mi, böylece bunun gerçekten yanlış olduğunu kafamda sezgisel olarak görebilirim. Ancak o zaman bir karşı örnek bulabilirim.

Şimdiden teşekkürler.

Answer 1

$W_2$ ve $W_3$ izomorfiktir, ancak aynı alt uzay olmayabilir.

Buna bakmanın bir yolu, önce bir temel seçmektir. $B$ nın-nin $W_1$. Bu temeli bir temelde genişletmenin farklı yolları vardır:$W_1 \oplus W_2$, dolayısıyla ek vektörler $B$ farklı alt uzayları kapsayabilir.

Başka bir yol da bir otomorfizm hayal etmektir $\alpha$ nın-nin $V$, (yani $\alpha:V \to V$tersinir doğrusal bir haritadır). Farz et ki$W_1$ değişmez bir alt uzaydır $\alpha$. Sonra$W_1 \oplus \alpha (W_2)=V$ bunların hepsi için $\alpha$.

Answer 2

Gerçekten yanlış! Örneğin sende var$$\mathbb R^2=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(0,1)\}=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(1,1)\},$$ fakat $$\text{Span}\{(1,1)\}\neq \text{Span}\{(0,1)\}.$$