Tamsayı olmayan bir katsayılı tamsayı polinomu ve rasyonel polinom bileşimi, tam sayı polinomu ile sonuçlanabilir mi?

Question

İki polinom bulabilir miyiz $p(x)$ ve $q(x)$, nerede $p(x)$ tamsayılar üzerinde sabit olmayan monik bir polinomdur ve $q(x)$ en az bir tamsayı olmayan katsayılı rasyonellere göre bir monik polinomdur, öyle ki bileşimleri $p(q(x))$tam sayılar üzerinde bir polinom mu? Değilse, nasıl kanıtlanır?

Örneğin izin ver $q(x)=x^2+\frac{1}{2}x+1$ ve $p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, sonra $p(q(x))=x^6+\frac{3}{2}x^5+\dots$yani tam sayılar ne olursa olsun $a_i$biz seçiyoruz, ortaya çıkan polinom tamsayı olmayan bir katsayısına sahip olacaktır. Monik koşul önemlidir, çünkü aksi takdirde çoğalabilirdik$p(x)$tüm katsayıların tam sayı olmasını garanti edecek böyle bir tamsayı ile. Bu formüle uyması gerektiğine inandığım genel polinomların bileşim katsayısına bakmaya çalıştım:

\ başlangıç ​​{hizala} [x ^ r] p (q (x)) = \ sum_ {k_1 + 2k_2 + \ dots + mk_m = r} \ sum_ {k_0 = 0} ^ {n- (k_1 + \ dots + k_m)} \ binom {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} {k_0, k_1, \ dots, k_m} a_ {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} \ left (\ prod_ {j = 0} ^ {m} b_j ^ {k_j} \ sağ) \ end {hizala} (burada$a_i$ ve $b_i$ katsayıları $p(x)$ ve $q(x)$ derece ile $n$ ve $m$, sırasıyla). Bununla birlikte, tamsayı olmayan sayıyı vereceğini kanıtlamak için hangi katsayıya odaklanılması gerektiği hiç de net değildir.

Bu, çözmeye çalışırken ortaya çıktı https://math.stackexchange.com/questions/3785073/infinitely-many-solutions-leads-to-existence-of-a-polynomial, ama kendi başına yeterince ilginç görünüyor.

Answer 1

Aslında, şu varsayımı göz ardı edebiliriz: $q$monic. Kompozisyon$p \circ q$ tüm tamsayı katsayılarına sahip olamaz.

İzin için $p$ bir katsayının tamamen basitleştirilmiş bazı paydalarının asal çarpanı olabilir $q$. En büyüğünü düşünün$k$ st $p^k$ a'nın bazı paydalarının çarpanıdır $q$katsayı. Sonra polinomu yazın$q$ gibi $x^j w(x) / p^k + s(x)$tamamen basitleştirilmiş her pay $w(x)$ ile bölünemez $p$ ve tamamen basitleştirilmiş paydası yok $s(x)$ ile bölünebilir $p^k$, ve nerede $w$sıfır olmayan sabit bir terime sahiptir. Bunu, tüm terimleri paydalarla bölünebilen gruplandırarak yapın.$p^k$, elde etme $x^j w(x) / p^k$ve paydaları ile bölünemeyen tüm terimler $p^k$, elde etme $x(x)$.

İzin Vermek $n$ derecesi olmak $p$ve katsayısını düşünün $x^{jn}$ içinde $p \circ q$. Katkıda bulunan zirvelerden biri olacak$w(0)^n / p^{kn}$tamamen basitleştirilmiştir. Ve diğer zirvelerin hiçbiri ile bölünebilen bir payda olamaz$p^{kn}$. Yani bu katsayı bir tamsayı değil.