Tek terimlerinin toplamından bir dizinin toplamını elde edin.

Question

Toplamı hesaplamak istiyorum $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} $$ Fourier serisini kullanarak $f(x)=|x|$ bitmiş $(-\pi,\pi)$. Katsayılar$b_k$ hepsi $0$ Çünkü $f$eşittir. Entegrasyon işini yaparak şunu elde ettim:$$ a_0 = \pi $$ ve $$ a_k = \frac{2}{k^2}\bigg((-1)^k-1\bigg) $$ için $k>0$. Parseval'in eşitliği şunları verir:$$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx $$ hangi verir $$ \frac{\pi^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi^2k^4}(2-2(-1)^k) = \frac{2}{3}\pi^2 $$ basitleştiren $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4} = \frac{\pi^4}{48} $$ temelde şöyle diyor: $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} $$ oradan toplamı nasıl elde edeceğine dair bir fikrin var mı?

Answer 1

Sahip olduğun şeyin bu olduğunu gözlemle $2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k+1)^4}=\frac {\pi^4}{48}$. Aranıyor$\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{k^4}=S$ sende var $\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k)^4}=\frac 1{16} S$ ve sonunda sahipsin $S-\frac 1{16}S=\frac 12 \frac {\pi^4}{48}$ olan $S=\frac {\pi^4}{90}$

Answer 2

Esasen sahipsin

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ... = \frac{\pi^4}{96}}$$

Bulmak istiyorsun

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = ?}$$

başka bir deyişle, eklemek istiyorsunuz

$${\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...}$$

Faktoring bir ${\frac{1}{2^4}}$ yukarıdaki verimlerde

$${\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...\right)}$$

Yani genel olarak, eğer ararsan ${S=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...}$ var

$${\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ...\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...\right) = S}$$

$${\Rightarrow \frac{\pi^4}{96} + \frac{1}{2^4}S = S}$$

Şimdi yeniden düzenleyebilir misin ${S}$?