Tekil değere bağlı

Question

İzin Vermek $M \in \mathbb{R}^{d\times d}$antisimetrik bir matris olabilir. İki miktar arasında bir alt / üst sınır veya eşitlik var mı$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \qquad \text{and} \qquad \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u \, ?$$ Sağ taraf, en küçük tekil değerin karesidir. $A$. Ayrıca dikkat edin$u^* A u$ saf hayali olmalı $u^* A^T A u$ gerçek olmalı.

Aslında, Stephen'ın aşağıdaki yorumu sol tarafın sıfır olduğunu gösteriyor. Genel matrisler ne olacak?$A$, mutlaka antisimetrik değil mi?

Answer 1

Cauchy-Scharz eşitsizliğine işaret ettiği için teşekkürler Stephen: $$ \left| u^* A u \right|^2 = \left| \left< Au, u \right> \right|^2 \leq \left< Au, Au \right> \left< u, u \right> = u^* A^T A u $$ normal vektör için $u$ ve gerçek matris $A$dolayısıyla $$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \leq \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u $$ herhangi bir gerçek matris için $A$. Sol taraf, antisimetrik için sıfırdır$A$.