Temel Diferansiyel Denklemler, Boyce, bölüm 2.2, alıştırma 19 (Ayrılabilir Denklemler)
Alıştırma, başlangıç değeri problemini çözmektir:
$$\sin{(2x)}\mathrm dx+\cos(3y)\mathrm dy = 0$$ $$y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$$
Biz alırız $\cfrac{-\cos{(2x)}}{2}+\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=K$ve şuradan $y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$ Şu sonuca varıyoruz ki $$\cfrac{-\cos{(\pi)}}{2}+\cfrac{\sin{(\pi)}}{3}=K \Rightarrow K = \cfrac{1}{2}\text.$$ Sonra: $$\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{\cos{(2x)}}{2}=\cos^2{x} \implies \sin{(3y)}=3\cos^2{x}$$.
Çözüm neden $y=\cfrac{\pi-\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$ ve basitçe değil $y=\cfrac{\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$? Neyi yanlış yapıyorum?
Herhangi bir yardıma teşekkür ederim.
Yanıtlar
$\sin(3y)=3\cos^2(x) \Rightarrow y= \dfrac{ \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$
Bunu yaptığınızda, bunu varsayarsınız $\sin(3y)$ bir mahallede ters çevrilebilir $\frac{ \pi}{2}$. Ama ortalanmış her açık topun içinde$\frac{ \pi}{2}$ var noktalar $a< \frac{ \pi}{2}< b$ öyle ki $\sin(3y(a))=\sin(3y(b))$ içindeki kare yüzünden $cos(x)$. Bu nedenle çözümünüzün etki alanını seçerken dikkatli olmalısınız.
Çözüm $y= \dfrac{ \pi - \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$ ne zaman geçerlidir $x \in [0, \dfrac{ \pi}{2} ]$ süre $y= \dfrac{\text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$ ne zaman geçerlidir $x \in [\dfrac{ \pi}{2}, \pi ]$.