Test istatistiğinin genişliğini tanımlama ve tanımlama $p$-iki taraflı bir test için değer
Etiket tanımımız $p$-value diyor
Sıklıkçı hipotez testinde, $p$-değer, sıfır hipotezinin doğru olduğu varsayımı altında, bir sonucun gözlemlenen sonuçtan aşırı (veya daha fazla) olma olasılığıdır.
Ama daha aşırı olanı nasıl tanımlarız ? Olarak "öğretmen ve bir düşünülmüş Student arasında bir diyalog" , @whuber gösteren aşırı olasılık oranının altında wrt tanımlanabilir$H_0$ vs. $H_1$ (veya $H_A$ orijinal gösterimde), $LR=\frac{P(data|H_1)}{P(data|H_0)}$. LR ne kadar büyükse sonuç o kadar aşırı olur. Çok uzak çok iyi.
@ Whuber örneğinde, $H_0$olan tek taraflı ve böyledir$H_1$. O zaman, test istatistiğinin hangi değer bölgelerinin en büyük LR'leri ürettiğini bulmak o kadar zor değildir. Bu nedenle, bulmada çok az kavramsal sorun yaşıyoruz.$p$-değer; Test istatistiğinin gözlemlenen değerden eşit veya daha uç (LR'ye eşit veya daha büyük LR'ye sahip) olası tüm değerleri için boş dağılımın altındaki alanı entegre ederiz.
Ancak, bir o kadar belli değil ne zaman$H_1$olan iki taraflı bir, iki taraflı olarak,$t$-Ölçek. Boş dağılımın sol kuyruğu , varsayılmış değerin soluna bir alternatif için en büyük LR'leri üretirken$H_0$sol kuyruk, sağına bir alternatif için hiç de aşırı olmayacaktır .$H_0$; aslında, aşırı uç olan ters kuyruk olacaktır. Sorun şu ki, her iki alternatif de$H_1$.
S: Böyle bir durumla nasıl başa çıkacağız? LR'lerin birbiriyle çelişen seviyeleri içinde farklı örneklerde ortaya çıkabildiğinde, aşırılığı tanımlamanın ilkesel yolu nedir?$H_1$?
PS Daha önce bir istediler ilgili soru olsun$p$-değer, alternatife bağlıdır. Modern (post Fisher) tanımını kullanmayı öğrendim$p$-değer, öyle.
Yanıtlar
İki taraflı testlerdeki senaryolara ek olarak, bu soru grup sıralı klinik araştırmalarda daha az önlenebilir bir şekilde ortaya çıkmaktadır.
Bir grup sıralı denemede, bir dizi analiz zamanı ve denemenin durması için her analizde eşikleri belirleyen bir durdurma sınırı vardır. Hesaplamada$p$-değerler veya güven aralıkları, olası sonuçların sırasını belirtmek gerekir. Örneğin, 4 üzerinden 2'de bir$Z$3 puan, bu, 3 anında durmaya kıyasla nasıl $Z$- 2.5 puan?
Gerçekte önerilen sıralamalar arasında
- farkın büyüklüğüne göre sıralama
- Zamana göre sipariş vermek, böylece daha erken bir zamanda herhangi bir durmak, daha sonraki bir zamanda durmaktan daha aşırıdır
Bunlar gerçek seçimlerdir; farklı insanlar yasal olarak farklı sıralamalar seçebilir. Farkın büyüklüğüne göre sıralama, daha dar güven aralıklarına, daha doğru p değerlerine ve daha az önyargıya yol açma eğilimindedir, ancak analizin, durdurulmuş bir denemenin gelecekteki analizlerinin gerçekleşeceği (gözlemlenemeyen) zamanlara olan duyarlılığını arttırır.
( Referans : Kittleson ve Gillen'den kısa kurs)
Test istatistiğinin genişliğinin tanımlanması ve iki taraflı bir test için p değerinin tanımlanması ...
Burada uygun bir bakış açısına göre, biri "doğru" istatistiğe sahip olduğunda, istatistiğin kendisi eldeki test problemi için "aşırılığın" ne anlama geldiğini söyler - tek taraflı veya iki taraflı. Bu nedenle daha temel soru, "doğru" istatistiğin ne olduğudur. Test problemleri, optimizasyon problemlerinin özel durumlarıdır - boyut kısıtlamasına tabi olarak gücü maksimize etmek istersiniz. Yani bu, "doğru" çözüm kavramını tanımlamak anlamına gelir.
Örneğin, basit bir sıfıra karşı basit bir alternatifle test problemi için en güçlü testi bulmak, doğrusal bir programın özel bir durumudur: $$ \sup_{0 \leq \phi \leq 1, \, \\ \\ \int \phi(\omega) f_0(\omega) d\mu \leq \alpha} \int \phi(\omega) f_1(\omega) d\mu. $$ Genel bir gerçektir ki çözüm $\phi^*$böyle bir program için formu alır $$ \phi^* = \begin{cases} 1 & \text{if } f_1 \geq k f_0 \\ 0 & \text{if } f_1 \geq k f_0, \end{cases} $$ bazı $k$. Bir test problemi bağlamında, doğal bir yorum, olasılık oranı istatistiği olduğunda reddedilir.$\frac{f_1}{f_0}$ daha büyük $k$.
(Yorumlarda eşiğin $k$boyut kısıtlamasının "gölge fiyatı" olarak yorumlanır. Görünüşe göre bu terminoloji ekonomiden ödünç alınmış.$k$problemin Kuhn-Tucker-Lagrange çarpanıdır. İç mekan çözümleri için, tipik olarak şöyle söylenebilir:$\alpha$--- ekonomik sorunlarda bütçe --- $\epsilon$, testin gücü artar $k \epsilon$. Ancak bu yorum genel olarak doğrusal programlar için geçerli değildir.)
Benzer şekilde, kompozit sıfıra karşı basit alternatifin en güçlü testini bulmak, doğrusal bir programı çözmek anlamına gelir. Karşılık gelen ikili programın çözümü bize, en güçlü istatistiğin, sıfırdan önceki en az elverişli Bayesçi ile ilgili bir olasılık oranı istatistiği olduğunu söyler. (Basit boş durum, önemsiz önceli özel bir durumdur.)
Monoton olabilirlik oranı (MLR) özelliğine sahip modeller için tek taraflı alternatifli testler elbette başka bir örnektir. MLR, modelin verilere göre değişmeyen bir olasılık oranları sıralaması kabul ettiği anlamına gelir.$\omega$. Dolayısıyla, olasılık oranı testi neredeyse varsayım gereği en güçlü testtir.
İki taraflı alternatifler için, örn. $\Gamma_0 = \{\gamma_0\}$ ve $\Gamma_1 = (-\infty,\gamma_0)\cup (\gamma_0, \infty)$ ortalama ile parametrelendirilen normal yoğunluklar için $\gamma \in \mathbb{R}$en güçlü test genel olarak mevcut değildir. Bu nedenle, doğru istatistiğin başka bir kriter tarafından belirlenmesi gerekir - örneğin, bir kişi bunun yerine yerel olarak en güçlü testi arayabilir .
Bir test $\phi^*$ başka herhangi bir test için yerel olarak en güçlü testtir $\phi$açık bir mahalle var $N_{\gamma_0, \phi}$ boş hipotezin $\phi^*$ daha yüksek güce sahiptir $\phi$ açık $N_{\gamma_0, \phi}$. Karşılık gelen birinci dereceden optimallik koşulu kriteri verir $$ \phi^* = \begin{cases} 1 & \text{if } \frac{\partial^2}{\partial \gamma^2}f_{\gamma_0} \geq k_1 \frac{\partial}{\partial \gamma} f_{\gamma_0} + k_2 f_{\gamma_0} \\ 0 & \text{if } \frac{\partial^2}{\partial \gamma^2}f_{\gamma_0} < k_1 \frac{\partial}{\partial \gamma} f_{\gamma_0} + k_2 f_{\gamma_0} \end{cases} $$ bazı $k_1$ ve $k_2$. Normal yoğunluğu yukarıdaki ifadelere koyarsak,$\phi^*$ ne zaman reddeder $|x- \gamma_0|$ büyük --- iki taraflı bir test.