Toplama ve çarpma aksiyomlarından bir sonucun ispatı konusunda yardım

Question

Vladimir A. Zorich'in Analiz 1'i okurken anlayamadığım bu 1 adımı olan bu ispatla karşılaştım. İşte sonuç ve kanıt:

Her biri için $x\in \mathbb R$ aşağıdaki doğrudur

$$-x=(-1)\cdot x$$

Kanıt. $\ \ x+(-1)\cdot x=\underbrace{(1+(-1))\cdot x}_\text{Which of the axioms were used here ?}= 0 \cdot x=x \cdot 0 = 0$. Varsayım, bir sayının negatifinin benzersizliğinden kaynaklanır.

İspatın sonu.

Kuşaksız kısım, anlayamadığım şey. Bu ifadeyi yapmak için hangi toplama ve çarpma aksiyomları kullanıldı?

Answer 1

Bunu not et $1\in\Bbb{R}$ her biri için özelliğe sahip setin özel bir öğesidir. $x\in \Bbb{R}$, $1\cdot x = x\cdot 1 = x$. Daha sonra, herkes için dağıtım yasasını da kullanıyoruz.$a,b,c\in\Bbb{R}$, $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a \cdot c$. Dolayısıyla, \ begin {align} x + (-1) \ cdot x & = 1 \ cdot x + (-1) \ cdot x \ tag {property of$1$} \\ & = [1 + (-1)] \ cdot x \ tag {dağıtım yasası} \ end {hizala} İspatın geri kalanı, her$x\in\Bbb{R}$, $0\cdot x = 0$.

Answer 2

esas dağıtımdır: $a(b+c) = ab + ac$.

Yani kanıt şu şekildedir:

$x + (-1)x = 1\cdot x + (-1)\cdot x$ (çarpımsal kimliğin varlığı ve tanımına göre)

$=(1+(-1))\cdot x$ (dağıtıma göre)

$=0\cdot x$ (toplamaya göre ters tanımına göre)

$=x\cdot 0$ (çarpma işleminin değişmesi ama bunu neden yaptığı hakkında hiçbir fikrim yok)

$= 0$(Bu bir aksiyom değildir , ancak bir önerme kanıtlanabilir:$0\cdot x = 0$. Bunu henüz kanıtladın mı? Spivak bunu bir aksiyom olarak kullanıyor mu?)

Sonra tanım gereği buna sahibiz $x$ benzersiz bir var $-(x)$ Böylece $x + (-x) = 0$.

Eğer sahip olursak $a$ Böylece $x + a = 0$ o olmalı $a=-x$çarpımsal tersi benzersiz olduğundan. Gibi$x + (-1)x =0$ olmalı $(-1)x = -x$.

======

Prop: $x\cdot 0 = 0$.

Pf: $x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$. (Her öğe$a$, dahil olmak üzere $x\cdot 0$, toplamanın tersi vardır, $-a$, Böylece $a + (-a) =0$.)

$x\cdot(0 + 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ ($0=0+0$ Çünkü $0$ ek kimlik ve $a +0 = a$ hepsi için $a$ne zaman dahil $a$ dır-dir $0$.)

$(x\cdot 0 + x\cdot 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ (DAĞILMA)

$x\cdot 0 + (x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$ (çağrışım)

$x\cdot 0 + 0 = 0$ (katkı maddesi kimliğinin tanımı)

$x\cdot 0 = 0 $ ($a + 0= a$ hepsi için $a$ katkı kimliği tanımına göre.)