Tüm fonksiyonları bulun $f$ öyle ki $f(mn) = f(m)f(n)$ ve…

Aug 16 2020

Tüm fonksiyonları bulun $f : N → N$ öyle ki

(a) $f(2) = 2$

(b) $f(mn) = f(m)f(n)$ hepsi için $m, n ∈ N$

(c) $f(m) < f(n)$ için $m < n$

İlk önce değiştirdim $m=1,n=2$ almak $f(1)=1$. Daha sonra, tüm güçlerinin$2$kendilerine eşit olacak. Yani$f(4)=4,f(8)=8$, ve bunun gibi. Şimdi, bir sonraki adımın doğru olduğundan pek emin değilim. Gibi$f(4)>f(3)>f(2)$, ve $f : N → N$, Bence $f(3)$ yalnızca olabilir $3$ama yine o kadar emin değilim. Öyleyse, olası tek işlevin$f(x)=x$.

Şimdi sorunun bir sonraki kısmına gelince ...

Üçüncü koşul bize verilmezse ne olur?

Maalesef, sorunun çözümü, çözümü bile bilmiyorum. Herhangi bir ipucu da yardımcı olur, teşekkürler.

Yanıtlar

2 TheSilverDoe Aug 16 2020 at 17:56

Daha kolayca :

Eğer $f(1)=1$ ve $f(2^n)=2^n$ve sahip olduğun için $$1 =f(1) < f(2) < f(3) < f(4) < ... < f(2^n)=2^n$$

tek olasılık şu ki $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=4$ ve bunun gibi.