Tüm setlerin sınıfı iyi düzenlenmiş mi? (Daha geniş anlamda)
İyi Düzenlenmiş Uygun Sınıflar sorusunu gördüm . ve aşağıdakileri sormak istiyorum.
Tüm kümelerin sınıfı doğrusal olarak mı sıralanır? Demek istediğim, ZFC küme teorisini kullandığımızı varsayalım. (Veya ZFC + Tarski aksiyomu. (1) Bu arada, böyle bir sistem bilinen tutarsızlıklar içeriyor mu?). Her evren Zermelo'nun teoremine göre sıralanmıştır.
(2) Ama Ord ve Set arasında bir eşleşme olan bir sınıf var mı?
Bence evrenler sınıfı doğrusal olarak düzenlenmiştir. Alt evrende bir düzeni koruyabilir ve mevcut evren ile bir önceki evren arasındaki küme-teorik farkın bir sırasını ekleyebiliriz. (Bir sonraki evrene ait olduğu için de bir kümedir.) (3) İfadelerim geçerli mi?
(4) Bunlara nasıl devam edilir ya da Set'in iyi sıralandığını diğer şekilde kanıtlarsınız?
Tek istediğim, her uygun sınıfın "minimal" bir unsurunun var olduğunu bir şekilde kanıtlamak.
Yanıtlar
(1) Hemen hemen tüm küme teorisyenleri, ZFC ve ZFC + Tarski'nin aksiyomunun (veya eşdeğer olarak, uygun bir erişilemez kardinal sınıfıyla ZFC'nin) tutarlılığına inanırlar.Elbette, eğer tutarlılarsa Gödel'in eksiklik teoremi nedeniyle tutarlılığını kanıtlayamayız.
(3) Aslında, tüm (Tarski-Grothendieck) evrenlerin koleksiyonu iyi düzenlenmiştir: $V_\kappa$ bazı erişilemezler için $\kappa$ve erişilemeyenlerin sınıfı, tüm sıra sayılarının sınıfının bir alt sınıfıdır. Dolayısıyla iyi düzenlenmişlerdir. (Sadece bir ZFC modeli olan bir evreni kastediyorsanız, bunların doğrusal olarak sıralanmadığını unutmayın.)
Ancak, tüm setlerin sınıfını kanıtlayamayız $V$Tarski'nin aksiyomuna sahip olsak bile, bu gerçeğe göre iyi düzenlenmiştir. Yapmak zorunda tercih her adımda iyi düzen ve biz Küresel seçme aksiyomu yoksa haklı olmayan bir uygun sınıfı pek çok seçenek, ihtiyacı vardır.
(2) Tüm sıralı tanımlanabilir kümelerin sınıfı $\mathrm{OD}$ sıra sınıfının önyargılı bir görüntüsüdür $\mathrm{Ord}$. Aslında, eğer$X$ önyargılı bir imge olan bir sınıftır. $\mathrm{Ord}$tanımlanabilir bir önyargılı sınıf işlevi altında , o zaman$X\subseteq \mathrm{OD}$. Dolayısıyla eğer$V\neq \mathrm{OD}$, o zaman arasında tanımlanabilir bir bijeksiyon yoktur $\mathrm{Ord}$ ve $V$.
Tanımlanabilirliği bıraksak bile, aralarında bir eşleşme olduğunu varsaymak için bir neden yoktur. $\mathrm{Ord}$ ve $V$. Mathoverflow'daki ilgili yanıta bakın .
(4) Eşdeğer oldukları bilinmektedir:
- $V$ iyi düzenlenmiş,
- Bir bijeksiyon var $\mathrm{Ord}$ -e $V$, ve
- Küresel Seçimin aksiyomu.
Küresel seçim aksiyomunu ima eden bazı aksiyomlar vardır: örneğin, inşa edilebilirlik aksiyomu, kanonik bir küresel iyi düzenleme olduğunu kanıtlar. Bununla birlikte, Tarski'nin aksiyomunu varsaysak bile, salt ZFC, Küresel Tercih'in aksiyomunu kanıtlamaz. Bu nedenle, teorilerinizden Küresel seçimi kanıtlamanın bir yolu yoktur.