Tutarsız sistemler matematiksel olarak ilginç / yararlı olabilir mi?
Bu sorunun en iyi cevabına göre :
Matematik yapmak çoğu zaman biz resmen temsil etmek istediklerini bir nesnenin bir fikir var, bu bir kavram . Daha sonra bu fikri açıklamak için aksiyomlar yazıyoruz ve bu aksiyomların kendisiyle çelişip çelişkili olup olmadığını görmeye çalışıyoruz. Değilse (veya olduklarını ispatlayamazsak) onlarla çalışmaya başlarız ve bunlar bir tanım haline gelir . Matematikçiler bu kavram tarafından yönlendirilir, ancak tanımla çalışırlar. Fikir ve tanım nadiren çakışır ve matematiksel bir nesneye sahip olursunuz ki bu tam olarak bizim [matematikçilerin] sezgilerimizin bize söylediği şeydir.
Matematiksel sezgilerimizi resmileştirmek zor bir iş gibi görünüyor, özellikle de sezgilerimiz genellikle kendileriyle çelişiyor ve her türden kafa karıştırıcı gerçek paradoksa yol açıyor. Ayrıca, Gödel tutarlı ve eksiksiz hem bir şekilde yapılamaz göstermiştir, bu yüzden ne zaman yapmak olmayan çelişkili kayıt altına almanın bulursak, tamlığı feda etmek zorunda.
Peki ya bunun yerine tutarlılıktan vazgeçersek? Tutarlı sistemler yerine tutarsız sistemler, (genellikle tutarsız) sezgilerimizi daha gerçekçi, hatta daha az yararlı bir şekilde biçimlendirmemize izin verebilir.
Ne yazık ki, patlama ilkesi, her ifade hem doğru hem de yanlış olacağından, böyle bir sistemin temelde anlamsız olmasını gerektiriyor gibi görünüyor. Ancak, bunun etrafında bir yol olabilir. Örneğin mantıksal çıkarım kurallarını patlama ilkesini engelleyecek şekilde sınırlayabiliriz. Veya tüm ispatları belirli bir uzunluğun altında sınırlayabiliriz (bir kişinin aynı anda kafasında tutabileceği sınırlı sayıda sezgisel adıma karşılık gelir).
Bu daha önce denendi mi? İnsan matematiksel sezgisinin bir modeli olarak aydınlatıcı / yararlı olabilir mi?
NOT: Matematiksel değil felsefi bir bakış açısından, birçok din / düşünce sistemi, insan sezgisindeki içsel çelişkileri barındırmak için tutarlılığı feda etmekten mutluluk duyar. Zen Budizmi muhtemelen en iyi bilinen örnektir ve Taoizm daha az aşırı olsa da benzer bir şey yapar. Ben de GK Chesterton'un kitabı okuyordu “Ortodoksluğu” onun inanç sistemini (o bir Hıristiyan) ve o delilik ve absürd sonuçlara mantık ve akıl potansiyel müşteriler tamamının bağlılığın iddia ve içinde çelişki zenginliğini yakalamak için başarısız açıklanır hangi düşünce ve gerçeklik.
Yanıtlar
Evet, bu tür sistemler gerçekten araştırılmıştır - anahtar terimler arasında "çelişkili mantık" ve "uygunluk mantığı" bulunmaktadır. Re: sources, Chris Mortensen konuyla ilgili bir özet makale ve bir kitap yazmıştır , ancak ikincisinin bazı sorunları vardır ( buraya bakın ).
Burada bir diğer önemli terim de "diyaletizm" dir. Çok kabaca, çelişkili vb. Mantıklar , böyle bir mantıktaki bir teori için, salt bir tutarsızlığın önemsizlik anlamına gelmemesi anlamında paradoksa toleranslıdır . Dialetheism, gerçek çelişkilerin olduğu felsefi duruşudur. Graham Priest konu hakkında çok şey yazdı (örneğin buraya bakın ).
Bununla birlikte, ilk eksiklik teoremini bu şekilde aşmak için herhangi bir makul girişimin gerçekten farkında değilim: Hesaplanabilir aksiyomatikleştirilebilir olan çelişkili bir mantıkta bir teori için hiçbir doğal aday bilmiyorum. $\mathsf{Q}$bir alt teori olarak (diyelim ki) eksiksiz ve makul bir şekilde önemsiz değil. Biz etrafında alabilirsiniz ikinci Ancak zayıf bir anlamda eksiklik teoremini: Mortensen kitap adı geçen klasik birinci sırasını içeren belirli bir alaka aritmetik$\mathsf{PA}$ ama kimin önemsizliği $\mathsf{PA}$kanıtlanabilir. (Önemsizlik, bu bağlamda tutarlılık anlamına gelmediğinden, bu aslında ikinci eksiklik teoremini ihlal etmez.) Bir başka dikkate değer uygulama, para tutarsız mantığın naif küme teorisini anlamlandırma yeteneğidir; örneğin buraya bakın .