Üçgen merkezlerin özelliği

Question

$M$ üçgenin içindeki 3 cevianın kesişimi $ABC$.

$$AB_1 = x,\quad CA_1 = y,\quad BC_1= z.$$

Kolayca ikisi için ispat edilebilir Nagel ve Gergonne noktaları aşağıdaki denklem doğrudur:$$S = xyz / r,$$ nerede $S$ üçgenin alanı $ABC$ ve $r$ yazılı dairenin yarıçapıdır.

Merak ediyorum başka hangi üçgen merkezler aynı özelliğe sahip olabilir ve bunlar için geometrik yer nedir?

Ayrıca, işaret ettiği durum için lütfen unutmayın $M$ formül aşağıdaki gibi görünen ağırlık merkezidir: $S = 2xyz/R$, nerede $R$çevrenin yarıçapıdır. ikame$x = b/2$, $y = a/2$, $z = c/2$ onu klasiğe geri getiriyor $S = abc/4R$. Belki diğer bazı üçgen merkezleri olabilir, bu nedenle bu denklem$S = 2xyz/R$onlar için de geçerlidir. Merak ediyorum, bu varsayımsal noktalar, merkezin merkeziyle hangi özel ilişki içinde olabilir?$ABC$?

Answer 1

Bu, yukarıdaki yorumların sadece bir kodasıdır, ancak bir yorum için çok uzun. Eğer$M$ baryantrik koordinatlara sahiptir $(\lambda,\mu,\nu)$ (mutlaka pozitif ve normalleştirilmiş değildir, böylece $\lambda+\mu+\nu=1$), sonra her iki koşul da formun kübik denklemine indirgenir $$ \frac{\lambda\mu\nu}{(\mu+\nu)(\nu+\lambda)(\lambda+\mu)} $$ üçgene (şekline) bağlı olan ve açıkça kolayca hesaplanabilen bir sabittir.

Belirli bir merkezin (merkez işlevli) olup olmadığını doğrulamak için $f$ Üçgen Merkezleri Ansiklopedisi'nden, homojen olacak şekilde normalleştirildi $f(a,b,c)+f(b,a,c)+f(c,a,b)=1$), bunu yerinde kontrol etmek için Mathematica'da küçük bir program yazmak kolay olmalıdır.

Answer 2

GeoGebra, X (7) X (8) X (506) X (507) ve cevianların kesişme noktalarının dışında olmasına izin verirseniz daha fazlasını buldu.

Not: GeoGebra'da bir hata bulundu.
Umarım yakında düzelir. [Düzenleme: şimdi düzeltildi]