Üçgenleştirilmiş ortak alanlara sahip functor kategorilerinin kendileri üçgenleştirilir mi?
Aşağıdaki iddianın doğru olduğundan oldukça eminim (ancak henüz oktahedral aksiyomu doğrulamadığımı itiraf edeceğim):
İzin Vermek $T$ üçgenleştirilmiş bir kategori olmak ve $C$herhangi bir kategori (set teorisyeni arkadaşlarımı endişelendirmemek için küçük diyelim). Ardından, functors kategorisi$C \to T$ T'den doğal bir üçgen yapı miras alır.
"Doğal" ve "devralır" derken, vardiya haritasının $[1]$ functor kategorimizde her birini gönderir $F:C \to T$ görevliye $F[1]$ doyurucu $F[1](c) = F(c)[1]$ her nesnede $c$ nın-nin $C$; ve benzer şekilde, ayırıcıların ayırt edici üçgenleri$$F \to G \to H \to F[1]$$ tam olarak her nesnenin üzerinde $c$ nın-nin $C$ içinde ayırt edici bir üçgenimiz var $T$ şeklinde $$F(c) \to G(c) \to H(c) \to F[1](c).$$
Asıl soru, bunun standart bir kitapta veya kağıtta yazılı olup olmadığıdır (örneğin Gelfand-Manin'de bulamadım). Belki de çok açık kabul edilir ve temel bir alıştırmaya indirgenir. Çoğunlukla, t-yapılarını ve kalpleri miras almakla ilgileniyorum.$T$ functor kategorilerine $C \to T$ve bu tür konularla ilgili herhangi bir mevcut referansı takdir edecektir.
Yanıtlar
İfade yanlıştır.
Örneğin, al $C=[1]\times [1]$ kare olmak ve $\mathcal{T} = h\mathsf{Sp}$spektrumların homotopi kategorisi olmak. Şimdi kareyi düşünün$X$ ile $X(0,0) = S^2$, $X(1,0) = S^1$ve diğer değerler sıfır ve diğer kare $Y$ ile $Y(1,0) = S^1$ ve $Y(1,1) = S^0$. Haritaları alın$S^2 \to S^1$ ve $S^1 \to S^0$ olmak $\eta$ve doğal dönüşümü düşünün $X \to Y$ 2 ile çarpılarak verilen $X(1,0)=S^1 \to S^1 = Y(1,0)$.
Bu harita bir kofiber olsaydı, o zaman, baştan son noktaya kadar bir harita alırdık. $S^3 \to S^0$. Kare tek yönün ardından, Toda braketi için bir temsilcimiz olacağını görüyoruz.$\langle \eta, 2, \eta\rangle$. Diğer yönü takip ederek, sıfırı çarpanlara ayırıyoruz. Ancak bu Toda braketi sınıflardan oluşur$2\nu$ ve $-2\nu$; özellikle sıfır içermiyor.
[Elbette bu örnek, daha aşina olduğunuz üçgen biçimli herhangi bir kategorideki önemsiz olmayan herhangi bir Toda braketi / Massey ürününe genelleştirilebilir.]
Aslında, Toda braketi, doğal dönüşüm için tam olarak 'küpü doldurmanın' engelidir. $X \to Y$.
Her neyse - bu, birçok modern alternatiften biri (örn. Sabit $\infty$-kategoriler, türeticiler, vb.).
T-yapılarına gelince, ahır diyarında $\infty$-kategoriler bunlara ulaşmak kolaydır. (Bunları oluşturmak için çeşitli hileler için bkz. Yüksek Cebir bölümü 1.2.1 ve Önerme 1.4.4.11.)
Dylan Wilson'ın örneği mükemmel. Daha cebirsel ve "sonlu" bir tada sahip bir tane daha sunmama izin verin.
Bence en basit üçgen kategori $\mathcal{T}$ bir alan üzerindeki sonlu boyutlu vektör uzaylarının kategorisidir $k$, kimlik askıya alma (diğer adıyla çeviri) functor ile ve $3$-tam üçgenler olarak periyodik uzun tam diziler. (Bu aslında, tarafından taşınan tek üçgen yapıdır.$\mathcal{T}$ denkliğe kadar.)
İzin Vermek $C_2$ döngüsel düzen grubu olmak $2$(sadece bir nesneye sahip bir kategori olarak kabul edilir). Ardından functor kategorisi$\mathcal{T}^{C_2}$ grup cebiri üzerinden sonlu üretilmiş modüllerin kategorisidir $k[C_2]$. Bu, sözde Auslander cebiri üzerindeki sonlu üretilmiş projektif modüller kategorisi ile aynıdır.$B$ nın-nin $k[C_2]$. Sonuç olarak Freyd, eğer$\mathcal{T}^{C_2}$ daha sonra üçgenleştirildi $B$ kendi kendine enjekte edici olacaktır.
Eğer $k$ özelliği var $2$, $k[C_2]\cong k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ dual sayıların cebiri ve $B$ endomorfizm cebiridir $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$-modül $k\oplus k[\epsilon]/(\epsilon^2)$. Bu$B$kendi kendine enjekte edici değildir. Nitekim, o zamandan beri$k$ özelliği var $2$, $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ yarı basit değil, bu yüzden $B$ küresel boyutu var $2$. Eğer$B$ kendi kendine enjekte olsaydı, küresel bir boyutu da olurdu $0$ veya $\infty$.
Paul Balmer'in geçen baharda tensör-üçgen geometri dersinden öğrendiğim daha basit bir karşı örneğim olduğuna inanıyorum:
Ok kategorisini talep edin$\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ üçgenleştirilmiş bir kategorinin $\mathcal{T}$ hiçbir zaman üçgen yapıya sahip olmadıkça$\mathcal{T} = 0$. Aslında ihtiyacımız bile yok$\mathcal{T}$ burada üçgenleştirilecek: eğer $\mathcal{T}$ herhangi bir katkı kategorisidir, öyle ki $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ üçgenleştirilir, o zaman $\mathcal{T} = 0$.
İspat: Varsayalım$\mathcal{T}$ bir katkı kategorisidir öyle ki $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$üçgenleştirilmiştir. İzin Vermek$a$ keyfi bir nesne olmak $\mathcal{T}$, kimlik morfizmi ile $1_a : a \to a$. İzin Vermek$t$ benzersiz morfizmi gösterir $a \to 0$. Sonra$\require{AMScd}$ \ begin {CD} a @> 1_a >> a \\ @V 1_a VV @VV t V \\ a @ >> t> 0 \ end {CD} bir morfizmi tanımlar$\alpha : 1_a \to t$ içinde $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$. Dikkat$\alpha$bir epimorfizmdir. Üçgenleştirilmiş herhangi bir kategoride, tüm epimorfizmler bölünür, öyleyse izin verin$\beta : t \to 1_a$ bölünmek $\alpha$ (yani, $\alpha \circ \beta$ kimlik morfizmi $t$). Sonra$\beta$değişmeli bir diyagramdır \ begin {CD} a @> t >> 0 \\ @V f VV @VVs V \\ a @ >> 1_a> a \ end {CD} öyle ki$1_a \circ f = 1_a$ (ve $t \circ s = 1_0$). Bundan ve diyagramın değişme özelliğinden şunu görüyoruz:$1_a = 1_a \circ f = s \circ t$ faktörler aracılığıyla $0$. Böylece,$a = 0$. Dan beri$a$ keyfi oldu $\mathcal{T} = 0$.
Düzenleme: Elbette ifadeyi daha da zayıflatabilirdik: sadece buna gerçekten ihtiyacımız vardı $\mathcal{T}$sıfır nesneye sahiptir. Ama eğer$\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ üçgenleştirilir, o zaman $\mathcal{T}$ katkı maddesi alt kategorisi olarak katıştırıldığı için eklemeli olmalıdır. $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ üzerinden $a \mapsto 1_a$.