Üstel Dağılımların ve En Çok Olabilirlik Fonksiyonunun Eklenmesi
Bir araba dükkanı tahmin ediyor $\alpha$bir arabanın yağını değiştirmek için dakika. Gerçek ihtiyaç duyulan zaman$X$ değişir $X\geq \alpha$ve her müşteri arasında farklıdır. Bu zamanın üssel olarak rastgele bir değişkenle tanımlanabileceğini varsayabiliriz. Yani rastgele X değişkeni aşağıdaki PDF'ye sahiptir
$$f_X(x):=\begin{cases}e^{\alpha -x} &x\geq \alpha \\ 0 & \text{else}\end{cases}$$
yani $X=\alpha + Z$ buna karşılık $Z\sim exp(1)$.
Tahmin $\alpha$, 10 müşterinin yağ değişimi için gereken süreyi ölçtük:
$$4.2 \quad 3.1 \quad 3.6 \quad 4.5 \quad 5.1 \quad 7.6 \quad 4.4 \quad 3.5 \quad 3.8 \quad 4.3$$
deneysel ortalamayı elde ettiğimiz $\bar{x}_{10}=4.41$.
Maksimum Olabilirlik Tahmincisini hesaplayın. Olabilirlik Fonksiyonunu türetemeyeceğinizi unutmayın).
Çözüm Olasılık işlevi şu şekilde verilir:
$$\begin{align} L(\alpha;x_1,\dots,x_n)&=\prod_{i=1}^nf_\alpha(x_i)=\prod_{i=1}^ne^{\alpha -x_i}1_{[\alpha, \infty)}(x_i)\\ &=exp\bigg(n\alpha-\sum_{i=1}^nx_i\bigg)\cdot \prod_{i=1}^n 1_{[\alpha,\infty)}(x_i)\\ &=exp\bigg(n\alpha-\sum_{i=1}^nx_i\bigg)\cdot \bigg(\min_{1\leq i \leq n} x_i\bigg)\\ &=\begin{cases}\exp(n\alpha-\sum_{i=1}^n x_i) & \alpha \leq \min_{1\leq i \leq n} x_i \\ 0 & \text{else}\end{cases} \end{align}$$
buna karşılık
$$1_A(x)=\begin{cases}1 & x\in A \\ 0 & \text{else}\end{cases}$$
Olabilirlik İşlevini en üst düzeye çıkarmak için, seçmemiz gerekir $\alpha$ olabildiğince büyük ama daha büyük olamaz $\min_{1\leq i \leq n} x_i$. Böylece aşağıdaki Maksimum Olabilirlik Tahmincisini elde ederiz
$$\hat{\alpha}=\min_{1\leq i \leq n} x_i \quad \text{ or as a random variable} \quad \hat{\alpha}=\min_{1\leq i \leq n} X_i$$
Soru: Şimdi hesaplamayı anlıyorum, kafam karışan şey PDF. Size rastgele bir değişkenimiz olduğunu söyleseydim$X=\alpha + Z$ ile $Z\sim exp(1)$, yukarıdaki PDF'yi nasıl alırsınız?
Ayrıca PDF hakkında kafam biraz karıştığı için, neden bir tahmin aracı aradığımızı gerçekten anlamıyorum $\alpha$ yani onu göremiyorum $\alpha$ dağıtımımızdaki parametreyi temsil eder.
Yanıtlar
Hatırlamak $$Z \sim \operatorname{Exponential}(1)$$ ima eder $$f_Z(z) = e^{-z} \mathbb 1(z \ge 0).$$ Şimdi izin ver $X = g(Z) = \alpha + Z$ bazı parametreler için $\alpha$. Sonra$Z = g^{-1}(X) = X - \alpha$, ve $dg^{-1}/dx = 1$. Böylece$$f_X(x) = f_Z(g^{-1}(x)) \left|\frac{dg^{-1}}{dx}\right| = e^{-(x-\alpha)} \mathbb 1 (x-\alpha \ge 0) = e^{\alpha-x} \mathbb 1(x \ge \alpha),$$iddia edildiği gibi. Ama bu gerçekten çok resmi. Desteğinin olduğunu anlarsan$Z$ açık $[0, \infty)$, sonra $\alpha + Z$ sadece desteği değiştirir $[\alpha, \infty)$ve yoğunluğa başka bir şey yapmaz. Yani tek yaptığınız, bir sabit parametre eklediğinizde üstel dağılım için bir konum dönüşümü yapmaktır.$\alpha$.
Diğer sorunuza gelince, $\alpha$aslında bir parametredir, çünkü modelimizde bir araca servis yapmak için gereken minimum süreyi temsil eden sabit bir miktardır, ancak bizim için bilinmeyen kalır. Bir örneği gözlemleyerek, bizi ilgilendiren gerçek değeri hakkında bir çıkarım yapmaya çalışıyoruz. Modelde tahmin edebileceğimiz başka parametreler yok. Ortalama hizmet süresini tahmin etmek istediğimizi düşünüyor olabilirsiniz, ancak bize zaten söylendi$\operatorname{E}[Z] = 1$dolayısıyla $$\operatorname{E}[X] = \operatorname{E}[\alpha + Z] = \alpha + 1.$$Dolayısıyla, ortalama hizmet süresi bilgisi, minimum hizmet süresi hakkında bilgi verir. Bunun nedeni, kullandığımız modelin zaten$\operatorname{E}[Z] = 1$ve hiçbir ek parametre eklemez; ama kesinlikle daha genel bir durumu düşünebiliriz$$\operatorname{E}[Z] = \theta, \\ f_Z(z) = \frac{1}{\theta} e^{-z/\theta} \mathbb 1(z \ge 0),$$ ortalama parametresi olan üstel bir dağılım olan $\theta$ (veya eşdeğer olarak, oran $1/\theta$). Sadece hakkında çıkarımlar yapmakla ilgileniyorsak$\alpha$, sonra $\theta$rahatsız edici bir parametre olarak kabul edilir ve örneklem ortalaması için bir tahmin aracı olarak$\alpha$ tarafından "kirlenir" $\theta$. İçin uygun bir tahminciyi nasıl inşa ederiz?$\alpha$ ne zaman $\theta$ da bilinmiyor?