Üstel nesnelere sahip bir kategorinin iki tanımı arasındaki eşdeğerlik

Aug 15 2020

Ürünler içeren bir kategorinin tüm nesneler için üstel olduğu söylenir$x, y$ bir nesne var $y^x$ bir okla donatılmış $e\colon x\times y^x\to y$ öyle ki tüm nesneler için $z$ ve tüm oklar $f\colon x\times z\to y$ benzersiz bir ok var $\bar{f}\colon z\to y^x$ doyurucu $e\circ (id_x\times\bar{f})=f$.

Bir kategorinin üstelleri varsa, o zaman $f\mapsto \bar{f}$ arasında doğal bir izomorfizmdir $hom(x\times z, y)$ ve $hom(z, y^x)$ ters ile $\bar{f}\mapsto id_x\times\bar{f}$. Dolayısıyla functor$x\times (-)$ bitişik bırakılır $(-)^x$.

Sohbet hakkında merak ediyorum: eğer $C$ şu şekilde ürünleri içeren bir kategoridir: $x\times (-)$ doğru bir ek noktasına sahip, bunu takip ediyor mu $C$ üstel var mı?

Özellikle, bunu varsayarsak $x\times (-)$ doğru bir eşleşme noktasına sahiptir, nasıl donatırız $y^x$ okla $e\colon x\times y^x\to y$. Ayrıca, denklemin$e\circ (id_x\times\bar{f})=f$ tam olarak mı?

Her nasılsa bir sağ ek noktasının varlığı $x\times (-)$ yukarıda verilen üssel özelliklere sahip bir kategorinin evrensel özellik tanımından daha zayıf ve daha soyut hissediyor.

Yanıtlar

1 AnginaSeng Aug 15 2020 at 20:32

Sanırım birinin bir nesne seçmek için AC'ye ihtiyacı var $y^x$ her biri için $x$ ve $y$.

Bunu kabul edince oku alır $e$birleşimlerdeki birimlerin / ülkelerin biçimliliğinden. Eğer$F$ sağ ekidir $x\times(-)$ sonra doğal olarak $$\text{hom}(a,Fy)\cong\text{hom}(x\times a,y).$$ Al $a=Fy$. Sonra$$\text{hom}(Fy,Fy)\cong\text{hom}(x\times Fy,y).$$ Soldaki kimlik bir homomorfizme eşler $e:x\times Fy\to y$sağda. Biz ifade ediyoruz$Fy$ gibi $y^x$, ve bu $e:x\times y^x\to y$ üstel haritadır.