Var olduğunu göster $x_0$ öyle ki $p(x_0) < q(x_0)$ verilen polinomlar için

Question

Eğer $p(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ ve $q(x) = x^2+px+q$gerçek katsayılara sahip iki polinom olabilir. Bir aralık olduğunu varsayalım$(r,s)$ 2'den büyük uzunlukta $p(x)$ ve $q(x)$ için olumsuz $x \in (r,s)$ ve ikisi de olumlu $x<r$ veya $x>s$. Var olduğunu göster$x_0$ öyle ki $p(x_0) < q(x_0)$

Dan beri $q(x)$ ikinci dereceden, bu nedenle $r$ ve $s$ kökler olmalı.

fakat, $r$ ve $s$ aynı zamanda kökleri $p(x)$ yani, $q(x)$ bir faktör olmalı $p(x)$bu nedenle

$p(x) = q(x)g(x)$

Nerede $g(x)$aynı zamanda bir ikinci dereceden. Ama alabildiğim kadarıyla bu. Buradan nasıl ilerleyeceksiniz? Durumu nasıl kullanıyorsun$s-r > 2$?

Herhangi bir yardım memnuniyetle karşılanacaktır.

Answer 1

$r$ ve $s$ ikisinin de kökleri $p(x)$ ve $q(x)$ ve dolayısıyla aynı zamanda $p(x) - q(x)$.

$q(x) = (x-r)(x-s)$ nerede $|r - s| \gt 2$

$p(x) - q(x) = q(x)f(x)$

Varsayalım $p(x) - q(x)$ her zaman negatif değildir, ancak köklerine göre $r$ ve $s$sadece mümkünse $f(x)$ her zaman olumsuzdur $q(x)$ ve $f(x)$ her zaman olumlu $q(x)$ dır-dir.

Bu, çift köke sahip olduğu anlamına gelir $r$ ve $s$ yani $p(x) - q(x) = (x-r)^2(x-s)^2$

yani $p(x) - q(x) = q(x)^2$

yani $p(x) = q(x)(q(x)+1)$

yani $1+q(x) \gt 0$ gibi $p(x)$ ve $q(x)$ hepsinde aynı işaret var $x$.

yani $x^2-(r+s)x+(rs+1) \gt 0$

Ayrımcı olduğu için bu doğru olamaz $(r-s)^2 - 4 \gt 0$problemde verildiği gibi. Yani bir x değeri var$p(x) \lt q(x)$.

[Not: işlev $ax^2+bx+c$ ayırt ediciyse iki gerçek kökü vardır $b^2-4ac \gt 0$]