Varyans dışbükey risk ölçüsü

Question

Umarım gerçekten uğraştığım bu soruda bana yardımcı olabilirsiniz. Varyans bir dışbükey risk ölçüsü müdür? Sanırım hayır, ama karşı bir örnek bulmak gerçekten zor.

İşte düşüncelerim. Burada bir örnek bulmaya çalıştım:$var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$. bunu biliyorum$var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y)$ $=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)$.

Şimdi, eğer korelasyon maksimal ise, bu durumda $corr(X,Y)=1$ sonra:$\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2$.

Ama hala bunun daha büyük olduğu bir örnek bulamıyorum $\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$.

Bana herhangi bir ipucu verebilir misin? Çok minnettarım

Answer 1

Maksimum korelasyon durumunuzu ele alalım. Öyle değerler bulmaya çalışıyorsun ki

$$(\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

veya

$$\lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

veya

$$\lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0 $$

veya

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0 $$

veya

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0 $$

ki bu kesinlikle hiçbir zaman doğru değildir $0\leq\lambda\leq 1.$ LHS, maksimum korelasyon durumunda en büyüktür:

$$Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y)$$

varyans ise dışbükey bir risk ölçüsüdür.