Vektörler arasındaki açı olarak korelasyon

Question

İki rastgele değişken arasındaki açı olarak korelasyonun geometrik yorumu konusunda biraz kafam karıştı. Varsayalım$X$ ve $Y$ ortalamalı iki değişkendir $0$ ve devlet alanı $S=\{\omega_1, \omega_2,\omega_3\}$. Sonra$$Var(X)=X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Var(Y)=Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Cov(X,Y)=X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)$$ Ve korelasyon $$\rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}=\frac{X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)}{\sqrt{(X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))(Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))}}$$ İki vektörü tanımlamadıkça bunun iki vektör arasındaki açı olduğunu anlamıyorum. $$x=[X(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, X(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, X(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ $$y=[Y(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, Y(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, Y(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ bu durumda bunu görüyorum $$\rho_{X,Y}=\frac{<x,y>}{\sqrt{<x,x><y,y>}}=\cos\theta$$ nerede $\theta$ arasındaki açı $x$ ve $y$. Bu yorumlamanın doğru yolu mudur (her bir durumun değerinin vektörünü ilişkilendirme olasılığının kareköküyle ağırlıklandırılması olarak)?

Answer 1

Bu neredeyse doğrudur. Böylesine geometrik bir yorum yapmak için, tam olarak yaptığınız gibi ilerlemeli ve iki şeyi tanımlamalı:

1. Rastgele bir değişken vektör olarak nasıl yorumlanır?
2. Bu vektörler arasındaki skaler çarpım (veya eşdeğer uzunluklar ve açılar) nasıl tanımlanır?

1. için yorum, sadece fonksiyonların vektörler olarak standart yorumudur. Yani rastgele değişkenler durum uzayını$\mathbb{R}$dolayısıyla diğer gerçek işlevler gibi vektörlerdir. Sizin durumunuzda durum uzayı sonludur, dolayısıyla vektör uzayı sonlu boyutludur. İle tanımlayabilirsin$\mathbb{R}^3$tam olarak önerdiğiniz gibi, ancak olasılıkları dahil etmiyorsunuz! Yani senin rastgele değişkenin$X$ vektörle ilgilidir $(X(\omega_1), X(\omega_2), X(\omega_3)).$

Olasılıklar yalnızca 2 için girilir: Sıfır ortalama rasgele değişkenlerin çarpımının beklentisinin $\mathbb{E}[XY]$ skaler bir ürünün tüm koşullarını karşılar, bu çift doğrusal, simetrik (oldukça açık bir şekilde) ve çünkü $\mathbb{E}[X^2]=0 \implies X=0$ ae

Yani basitçe tanımlıyorsun $<X,Y>=\mathbb{E}[XY]$ ve açıları ölçmeye hazır!