Yaklaşık 2 eksen (örneğin Dünya) dönen nesnenin toplam açısal momentumunu hesaplayın
Dünyayı düşünün. Bazı açısal hızlarla kendi ekseni etrafında (kutuplardan geçerek) döner.$\vec\omega$ve bazı açısal hızlarla güneşin etrafında $\vec\Omega$.
Şimdiye kadar gördüğüm her ders kitabında / web sayfasında, Güneş'in yörüngesinden kaynaklanan açısal momentumun, Dünya'nın kendi ekseni etrafında dönmesi nedeniyle açısal momentumdan ayrı olarak hesaplandığını gördüm.
Harika. Ama dünyanın tam açısal momentumunu nasıl elde ederim?
Şu cevabın farkındayım: Dönen ve dönen cismin (toprak) açısal momentumu , ancak soruyu yanıtladığını sanmıyorum. Cevap açısal bir hız kullanır$\vec {\boldsymbol{\omega}}$- ama nesne 2 eksen etrafında dönüyorsa bu hızı nasıl elde edersiniz? Euler'in dönüş teoremi uygulanmaz çünkü eksenlerden biri nesne üzerinde değildir.
Bu nedenle, soruyu yeniden ifade edeceğim: Yörüngedeki açısal hız verildiğinde $\vec\Omega$ ve dünyanın ekseni etrafındaki açısal hız $\vec\omega$, Dünyanın toplam açısal momentumunu nasıl bulabilirim (veya benzer bir rotasyon açıklaması gösteren cisim üzerinde 1 dönme ekseni ile diğeri kapalı) nasıl bulabilirim?
Yanıtlar
İlk olarak, Dünya'nın dönüşünün yörünge eksenine göre bir açıda olduğunu düşünün.
Buraya $$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$
Birleşik rotasyon ( yukarıdan negatif x ekseni ile ilgili başlık verildiğinde )
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]} $$
tercüme edilebilir
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$
İlginç olan, dünyanın anlık dönme merkezini dünyaya göre hesaplayabilmenizdir. $(c_y,c_z)$ ($c_z$aşağıda negatif olarak gösterilmiştir). Dünyanın gerçekte döndüğü nokta budur.
Noktayı bulmak için yörünge hızını hesaplayın (pozitif x ekseni sayfanın dışındadır)
$$ \vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$
ve sonra dönme merkezi
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]} $$
Ay uzaklık birimleri dikkate alındığında ilginç olan (1 LD = 384402000 m )
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]} $$
Bu, her zaman güneşe doğru neredeyse bir LD ve yaz gündönümünde yeryüzünün yarısı LD ve kış gündönümünde yeryüzünün yarısı LD üzerindedir.
Artık dünyanın kinematiği kurulduğuna göre dinamikler hakkında konuşabiliriz.
Dünya ile dönüyor $\vec{w}$ ve böylece dünyanın merkezindeki açısal momentumu $$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ nerede ${\rm I}_E$ dünyanın kütlesel eylemsizlik momentidir.
Ama dünya da çeviri yaptığından, doğrusal momentuma sahiptir. $$ \vec{p} = m_E \vec{v}$$.
Dünyanın güneşe göre açısal momentumunu hesaplamak için her iki miktarı aşağıdaki kuralla birleştiririz
$$ \vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p} $$
Hesaplamayı yaparsanız , y ekseni boyunca küçük bir bileşenle birlikte, z ekseni boyunca açısal momentumun çoğunu bulacaksınız .
İlginç olan, dünyanın perküsyon ekseninin içinden geçtiği uzayda konumu bulabilmenizdir. Yukarıdakine benzer şekilde, bu nokta
$$ \pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2} $$
Uzayda bu noktanın önemi, eşit ve zıt bir momentum uygulamanızdır. $\vec{p}$perküsyonun merkezinden dünyaya ulaşırsa, dünya sadece yörüngeyi durdurmakla kalmayacak, aynı zamanda dönmeyi de durduracaktır . Bu noktadan tek bir dürtü ile dünyanın tüm kinetik enerjisini kaldırabilirsiniz. Dünyayı kendi yolunda durdururdu.
Şaşırtıcı bir şekilde, iki açısal hız toplama kuralı, "bu açısal hızların ekseninin" nesneden geçip geçmediğine ve kesişip kesişmediğine bağlı değildir.
Bir cismin açısal hızı, eylemsizlik referans çerçevesi seçiminize bağlı değildir. Vücuda iliştirilmiş bir ok olduğunu varsayalım; şuanda$t_0$ bu ok uzaktaki bir yıldızı işaret etti $A$; şuanda$t_1$ bu ok uzaktaki başka bir yıldızı işaret etti $B$- eğer doğruysa, tüm eylemsiz referans çerçevelerinde doğru olduğundan. Ve vücudun yönelimi ne kadar hızlı değişiyor - referans çerçevesine bağlı değildir (referans çerçevesi atalet olduğu sürece).
Şimdi Dünya'nın toplam açısal hızını ölçelim. Önce Güneş'e bağlı olan ve Dünya'nın hızı sıfır olacak şekilde dönen bir referans çerçevesinde ölçmek mümkündür. Diyelim ki bu referans çerçevesinde Dünya'nın açısal hızı$\vec\omega$. Referans çerçevesinin açısal hızı$\vec\Omega$, yani Dünya'nın toplam açısal hızı $\vec\omega + \vec\Omega$. Kutup yıldızına yönelen bir vektördür, büyüklüğü yaklaşık olarak$1/86164sec$ - 86164 yıldız gününde saniye sayısıdır, yani Dünya'nın uzak yıldızlara göre dönme periyodudur.
Şimdi sorunuzun ikinci kısmına gelelim: "Şimdiye kadar gördüğüm her ders kitabında / web sayfasında, Güneş'in yörüngesinden kaynaklanan açısal momentumun, Dünya'nın kendi ekseni etrafında dönmesinden kaynaklanan açısal momentumdan ayrı olarak hesaplandığını gördüm. "
Bu sefer referans çerçevesi Güneş'e bağlıdır ve eylemsizdir. Bu referans çerçevesinde Dünya'nın toplam açısal momentumunu hesaplamanın "adil" yolu, Dünya'yı birçok küçük parçaya ayırmak, her bir parçanın momentumunu hesaplamak ve sonuçları toplamaktır. Daha kolay bir yol, Dünya'nın kütle merkezi etrafındaki momentumu hesaplamak, Dünya'nın momentumunu sanki kütlesinin tamamı kütle merkezinde bulunuyormuş gibi hesaplamak ve bu iki vektörü toplamaktır. Toplam sonuç aynı olacaktır - bu basit bir matematiksel teoremdir.
Unutmayın, Dünya'nın kendi ekseni etrafındaki dönüşünden kaynaklanan momentum, Dünya'nın Güneş etrafında dönmesinden kaynaklanan momentumdan çok daha küçüktür. Daha da önemlisi, sadece toplam Erath'ın momentumu (yani bu iki vektörün toplamı) zaman içinde sabit değildir, bu bileşenlerin her biri sabittir! (Ay'ın ve diğer gezegenlerin etkisini görmezden geliyoruz). Öyleyse, Dünya'nın hızının Güneş'e olan uzaklığa (Keppler yasaları) nasıl bağlı olduğunun ayrıntılarını hesaplamak istiyorsanız - Dünya'nın açısal momentumunun "kendi ekseni etrafında dönme" kısmını güvenle göz ardı edebilirsiniz.