Yinelemeli bir şema için yakınsama koşulları

Question

İzin Vermek $A$Bir olmak tekil ve simetrik bir matris ile$\lambda_1=0$ ve $\lambda_i >0$ için $i=2,\ldots,n$.

Yinelemeyi düşünün

$$x^{*} = b- (A-I)x_k$$ $$x_{k+1} = \alpha x^{*} +(1- \alpha)x_k$$

Hangi şartlar altında $x_0$, $\alpha$ ve $b$, gerçek çözüme yaklaşıyor mu? $Ax =b$?

---

Gerçekten hareket edemiyorum. Hesaplamaya çalıştım$e_{k+1}$ama yararlı bir ilişki bulamadım. Ayrıca, bazı kısıtlamaları nasıl bulacağımı bilmiyorum$x_0$.

---

DÜZENLE

@Uranix yorumlarını takip etmeye çalıştım ve şunu buldum: $$e_{k+1} = \alpha b + (I - \alpha A) x_k -x $$

(tutarlılığı kullanarak) yeniden yazıyorum $$e_{k+1} = (I-\alpha A)(x_k -x)=(I- \alpha A)e_{k}$$

Bu nedenle $$e_{k+1} = (I-\alpha A)^k e_0$$

Şimdi spektral yarıçapın şu değerden küçük olmasını isterim: $1$ama o zamandan beri $$\lambda(I -\alpha A)= 1-\lambda(A)$$ İlk özdeğerim var $1-\alpha \lambda_1=1-\alpha \cdot 0 = 1$

Bu yüzden yakınsama hakkında hiçbir şey söyleyemem ... başka bir yolu olmalı. Gerçekten, simetri kullanmadım ve ayrıca hiçbir koşulda$x_0$, metinde yazıldığı gibi

Answer 1

Küçük bir ipucu.

Yorumlarda söylediğim gibi, özdeğer temelini düşünün. Temel vektörler ortogonaldir ve ortonormal bir temel oluşturmak için ölçeklenebilir:$$ A \phi_m = \lambda_m \phi_m, \quad m = 1, \dots, m\\ (\phi_m, \phi_{m'}) = \delta_{mm'}. $$

Temel üzerinde hata vektörlerinin genişletilmesi $e_k = \sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$genişleme katsayılarını kullanarak yakınsama koşulunun yeniden yazılmasına izin verir. Parseval'in kimliğini kullanmak$$ \|e_k\|_2^2 = \sum_{m} c_{k,m}^2 $$ onu elde ederiz $e_k \to 0$ sadece hepsi için olur $m$ her katsayı sıfıra yakınsar, yani $$ \lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0, \quad m = 1,\dots,n. $$

İle oyunculuk $(I - \alpha A)^k$ açık $e_0$ her özdeğer üzerinde ayrı ayrı hareket eder: $$ e_k = (I - \alpha A)^k e_0 = (I - \alpha A)^k \sum_{m=1}^n c_{0,m} \phi_m = \\ = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (I - \alpha A)^k \phi_m = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (1 - \alpha \lambda_m)^k \phi_m. $$

Sağ tarafı ile karşılaştırmak $\sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$ hemen ilişkiyi anlarız $$ c_{k,m} = (1 - \alpha \lambda_m)^k c_{0,m}. $$

Şimdi koşulları bulmak size kalmış $\lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0$ her biri için $m = 1,\dots,n$.