'Zayıf' mantıkla ne kastedilmektedir?

Question

Stanford Encyclopedia of Philosophy, sv "Modal Logic" şöyle der:

Modal ailedeki en tanıdık mantık, K adı verilen (Saul Kripke'den sonra) zayıf bir mantıktan inşa edilmiştir ...

Bu web sitesinde sorulan sorularda 'zayıf' ve 'zayıflığa' gönderme nispeten sıktır, örneğin Zayıf ikinci derece mantık . Ancak ne bu belirli başlık altında verilen cevaplar ne de bir aksiyomun diğerinden "daha zayıf" olmasıyla ne kastedilmektedir? "Bir mantığın" veya başka bir sistemin zayıflığının ne olabileceğini bana açıklayın.

"Zayıf mantık" ile kastedilen nedir?

Answer 1

Mantık, daha fazla teoremi ispatladıkça daha güçlüdür ve doğal olarak, sahip olduğu daha az modeldir.
Ne kadar çok aksiyom varsa ve aksiyom o kadar spesifiktir (A'nın B'yi gerektirmesi ancak B'nin A'yı gerektirmemesi durumunda A'nın B'den daha spesifik olması anlamında), bu aksiyomlardan daha fazla formül çıkarılabilir: Mantık güçlüdür birçok cümleyi ispatlamayı başardığı anlamda.
Öte yandan, bir teorinin doğru olması ne kadar çok gerektirirse, bir yapının tüm aksiyomları karşılaması o kadar zorlaşır, bu nedenle daha az model olacaktır: Bir mantık, tekmelemeyi başardığı anlamında güçlüdür. birçok yapı ve evrenin nasıl görünebileceğine dair sadece birkaç olasılık bırakıyor.

Modal mantık K'nin yalnızca bir kuralı ve bir aksiyomu vardır veya erişilebilirlik ilişkisi açısından hiçbir kısıtlama yoktur. Yani herhangi bir modal yapı bu teoriyi tatmin edebilir ve sadece bu tek aksiyomdan türetilebilecek ve bu daha genel ortamda bu birçok yapının tümünde evrensel olarak doğru olmayı başarabilecek çok fazla teorem yoktur.
Erişilebilirlik ilişkisine daha fazla aksiyom veya kısıtlama ekleyerek, daha fazla yapı dışlanır. Böylece, bu daha spesifik teoride daha fazla cümle ispatlanabilir ve daha az sayıda modelde doğru olmayı başarabilir. Dolayısıyla T, S4, S5 gibi teoriler K'den daha güçlüdür.

Mantık tutarsızsa ve klasik patlama yasasını içeriyorsa bu tanımın bozulacağına dikkat edin: O zaman mantık her ifadeyi kanıtlar ve hiçbir modeli yoktur - yukarıdaki kriterlere göre onu sonsuza kadar güçlü kılar; ama sezgisel olarak istediğimiz bu değil çünkü böyle bir mantık önemsizdir. (Bu klasik yaklaşımın bir zorunluluk olmadığına dikkat edin: tutarsız teorileri otomatik olarak patlatmayan mantıklar vardır; cf. parasal tutarsız mantık).