Zincir Kuralı Genel Türevler İçin Geçerli mi?
Vektör uzayı için $\mathbb{R}^n$ zincir kuralına uyan kısmi türevlerimiz var, örneğin:
İzin Vermek $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$için standart temeli varsayalım $\mathbb{R}^n$ dır-dir $x^i$ ve için standart temel $\mathbb{R}^m$ dır-dir $y^j$Yani kompozisyon için elimizde:
$$\left.\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right|_{p}(f \circ F)=\frac{\partial f}{\partial y^{j}}(F(p)) \frac{\partial F^{j}}{\partial x^{i}}(p)$$
bu standart zincir kuralıdır.
Şimdi genel durum türevini cebir arasındaki doğrusal harita olarak düşünün $v:A\to B$ ile $v(fg) = fv(g)+gv(f)$.
Bu durumda bileşim için zincir kuralı $v(f\circ g)$hala tutuyor musun? Öyle görünmüyor mu?
(diferansiyel için biliyoruz $dF_p:T_pM\to T_p N$ zincir kuralı hala geçerlidir)
Yanıtlar
Düzgün manifoldlar söz konusu olduğunda, zincir kuralı dediğiniz şey, işaretli noktaya sahip bir manifoldu alan fonktörün işlevselliğinin bir tezahürüdür. $(M,p)$ teğet uzayına $T_pM$ ve bu tür nesnelerin düzgün bir haritasını çıkarmak $f:(M,p)\to (N,q)$ ilişkili diferansiyele $df_p:T_pM\to T_qN$. İşlevsellik, bir kompozisyon verildiğini söylüyor$$ (M,p)\xrightarrow{f} (N,q)\xrightarrow{g}(P,r)$$ bir ilişki var $d(g\circ f)_p=dg_q\circ df_p$. Daha az anlaşılır bir dilde, bu sadece kompozisyonun farklılığının, farklılıkların kompozisyonu olduğunu söylüyor. Bunu somut terimlerle ifade etmek$$ \Bbb{R}^n\xrightarrow{F} \Bbb{R}^m\xrightarrow{f} \Bbb{R}$$ yukarıdaki gibi, diferansiyellerin sırasıyla $$ \bigg[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}\bigg]_p$$ ve $$ \bigg[\frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg]_{F(p)}$$ ilk uzaydaki koordinatlar nerede $x^1,\ldots, x^n$ ve ikinci uzaydaki koordinatlar $y^1,\ldots, y^m$ ve ilk matris $m\times n$ve ikincisi $1\times m$. Diferansiyelin bileşimi, bu matrislerin çarpımıdır;$$ \bigg[ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\frac{\partial f}{\partial y^i}(F(p))\bigg]$$ bu nerede $1\times n$ matris.
Sorduğunuz soru farklı. Diyelim ki$A$ ve $B$ vardır $k-$bazı alanlar için cebirler $k$. Sonra bir morfizm$v:A\to B$ hangisi $k-$doğrusal ve Leibniz (yani $v(fg)=v(f)g+fv(g)$) bir tür diferansiyel operatördür. Ancak, burada zincir kuralının ne anlama gelmesini istediğiniz açık değildir. Zincir kuralı, manifold ayarımızdaki bir fonksiyon kompozitine diferansiyel operatör uyguladığımızda ortaya çıkan şeydir. Bu durumda,$f\circ g$ a priori bile mantıklı değil.
Şu öneride bulunuyorum: Geometrik boşluklar kategorisi verildiğinde $\mathscr{C}$ve bir "işlev" $F: \mathscr{C}\to \mathscr{A}$, her alana atama $X$ cebirsel bir yapı $F(X)$bunu söylüyoruz $F$zincir kuralına uyar eğer$F$ yukarıdaki anlamıyla işlevseldir: verilen $$ X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$$ sahibiz $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$. Bu kuşkusuz biraz belirsizdir, ancak zincir kuralını tanımlamak için ne "kullandığımızı" göstermektedir.