Zincirlenmiş alt kümeler dizisinde kesişimin sonlu ve boş olmadığını kanıtlayın
Başlık yalnızca basitleştirilmiş bir versiyondur. Şu anda Anlama Analizi okuyorum ve ön hazırlık çalışmaları yapıyorum. Soru:
Eğer $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ hepsi sonlu, boş olmayan gerçek sayı kümeleridir, sonra kesişim $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ sonludur ve boş değildir.
Bu noktada kitap resmi olarak sonlu tanımlamamıştır. Ayrıca bana göre kitabın sunduğu tek ipucu şu soru:
Eğer $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ sonsuz sayıda öğe içeren kümeler, ardından kesişme $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ aynı zamanda sonsuzdur.
Bu soru ve yukarıda bahsettiğim bir örnek ile seti tanımlayarak bu problemi çözebilirim. $A_i = \{i,i+1,i+2\dots\}\subseteq N$ ve çelişkili bir kanıt.
Ancak söz konusu olduğunda $A_i$ sonlu elemanlar içeren, şimdi nasıl yapılacağını bilmiyorum
- Tanıma göre kanıtlayın
- Sonsuz versiyon gibi bir karşı örnek bulamamanın arkasındaki sezgiyi anlayın
Yanıtlar
Bunun bir yolu, azalan bir pozitif tamsayı dizisinin, bu durumda kümelerin temel değerlerinin fark edilmesidir. $A_k$, sonunda sabit olmalıdır. İçin$k\in\Bbb Z^+$ İzin Vermek $n_k=|A_k|$, içindeki elemanların sayısı $A_k$; $n_k$pozitif bir tamsayıdır. İzin Vermek$N=\{n_k:k\in\Bbb Z^+\}$; $N$ boş olmayan bir pozitif tamsayılar kümesidir, bu nedenle en küçük bir elemanı vardır $m$. İzin Vermek$\ell\in\Bbb Z^+$ öyle ol $n_\ell=m$.
$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$, yani $n_{\ell+1}\le n_\ell=m$. Fakat$m=\min N$, yani $n_{\ell+1}\ge m$, ve bu nedenle $n_{\ell+1}=m$. Böylece,$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$ ve $|A_{\ell+1}|=|A_\ell|$ , yani $A_{\ell+1}=A_\ell$. Bu fikri tümevarım yoluyla kanıtlamak için kullanabilirsiniz.$A_k=A_\ell$ her biri için $k\ge\ell$. O zaman neredeyse bitirdiniz.$A_k\supseteq A_\ell$ için $k=1,\ldots,\ell$, ve $A_k=A_\ell$ için $k>\ell$, yani
$$\bigcap_{k\ge 1}A_k=\bigcap_{k=1}^\ell A_k\cap\bigcap_{k>\ell}A_k=A_\ell\cap A_\ell=A_\ell\,.$$