Bedeutet lokal unendlich klein?
Ich habe Allgemeine Relativitätstheorie studiert und es gibt eine Sache, die ich nur schwer verstehen kann.
Was bedeutet lokal wirklich? Ich werde einige Beispiele geben:
Der Hessische
Das Hessische ist eine Möglichkeit, die lokale Krümmung einer Funktion zu berechnen. Was bedeutet lokal in diesem Fall? Auf einer kleinen Fläche, die nicht unendlich klein oder unendlich klein ist?
Der Ricci-Tensor der Allgemeinen Relativitätstheorie
Es beschreibt, wie stark die Krümmung der Raumzeit an einem lokalen Punkt vom flachen Raum (euklidischen Raum) abweicht. Bedeutet dies wiederum eine kleine Fläche / ein kleines Volumen, das nicht unendlich klein ist, oder eine unendlich kleine Fläche / ein unendlich kleines Gebiet?
Was bedeutet lokal in der Physik im Allgemeinen und worüber sprechen wir wirklich, wenn wir "lokal" sagen ? Dies würde mir helfen, zukünftige Konzepte zu verstehen.
Antworten
Erstens gibt es das mathematische Verständnis der Lokalität, dh https://en.wikipedia.org/wiki/Local_property. Ungefähr "lokal" bedeutet "in einem (ausreichend kleinen) offenen Satz". Dies ist auch sehr relevant für Physik, vor allem in GR, da die Definition eines Verteilers (zB Raum-Zeit) ist , dass es aussieht , lokal wie$\mathbb{R}^n$. Genauer gesagt bedeutet lokal, dass für jeden Punkt auf der Mannigfaltigkeit eine offene Nachbarschaft dieses Punktes existiert, die homöomorph zu einem offenen Einsetzen ist$\mathbb{R}^n$. Dies muss dem Begriff global gegenübergestellt werden . Sehr grob kann dies durch ein Beispiel erklärt werden, z. B. den Kreis$\mathbb{S}^1$, die lokal wie ein Intervall aussieht $(0,1) \subset \mathbb{R}$ durch den Homöomorphismus $s \mapsto (\cos 2\pi s, \sin 2\pi s)$. Global ist es jedoch anders. Wenn Sie einmal um den Kreis herumgehen, landen Sie an derselben Stelle, an der Sie nichts tun können$\mathbb{R}$.
Jetzt stimme ich Vadim zu, dass "lokal", wie Sie es in Ihrer Frage beschreiben, "infinitesimal" bedeutet, da nur die Kenntnis eines Hessischen an einem bestimmten Punkt (oder einem Gradienten usw.) nur zu diesem Zeitpunkt und nicht in einer Nachbarschaft etwas über die Funktion aussagt von diesem Punkt. Es sagt Ihnen etwas über infinitesimale Variationen dieses Punktes. Wenn Sie andererseits alle Ableitungen einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt kennen, können Sie unter bestimmten Voraussetzungen die Funktion möglicherweise überall kennen (siehe Taylor-Erweiterung), und wenn Sie einige Ableitungen kennen, erhalten Sie eine Annäherung, die in einer Nachbarschaft beliebig gut wird von diesem Punkt, wenn Sie es willkürlich in der Nähe des Punktes schrumpfen. Es besteht also ein Zusammenhang zwischen der vorherigen Definition und dieser.
Beachten Sie auch, dass die Kenntnis einer Beziehung von Ableitungen lokal (dh in einer offenen Teilmenge) eine Differentialgleichung ergibt, die in Kombination mit einigen Bedingungen die Funktion lokal (oder global) erhalten kann oder nicht, aber dies ist eine andere Geschichte.
Dann gibt es natürlich auch das Konzept einer lokalen Theorie oder lokalen Interaktion, das in Vadims Antwort korrekt charakterisiert ist. In der Teilchenphysik bedeutet dies beispielsweise, dass Interaktionsterme in der Lagrange-Dichte nur vom gleichen Raum-Zeit-Punkt abhängen. Andernfalls würde dies zu einer Verletzung der Kausalität führen. Dies ist wieder eine andere Geschichte.
Ja, lokal bedeutet hier infinitesimal klein, obwohl es ein weniger gut definierter Begriff als infinitesimal ist . Man spricht auch von lokalen Theorien , dh der Beschreibung physikalischer Phänomene in Form von Differentialgleichungen mit Ableitungen bis zu einer endlichen Ordnung. Ein Derivat zu nehmen bedeutet natürlich auch, eine infinitesimale Grenze zu nehmen. In diesem Zusammenhang ist nicht-lokal mit einer Interaktion verbunden, die über endliche Entfernungen ohne kontinuierliche physikalische Einheit stattfindet, um die Interaktion zu vermitteln, die bekanntermaßen als gruselige Aktion in einer Entfernung bekannt ist .
Was die vorhandenen Antworten implizieren, aber nicht genau darauf hinweisen, ist, dass es zwei Begriffe von Lokalität gibt, und man muss ein Urteilsvermögen üben, um sie auseinander zu halten.
Lokal kann "in einer offenen Nachbarschaft" bedeuten, was immer endlich ist.
Beispiel: Wenn$A$ ist eine geschlossene $k$-Form auf einem Verteiler $M$gibt es einen Satz (Poincarés Lemma), der besagt, dass dann $A$ist auch lokal genau. Was dies bedeutet ist, dass jeder Punkt$x\in M$ hat eine offene Nachbarschaft $U$ so dass es eine gibt $k-1$-bilden $B$ auf $U$ befriedigend $A|_U=dB$. Die Domain$U$ in Frage ist endlich.
Es gibt auch einen infinitesimalen Lokalitätsbegriff, der mit Derivaten / Jets strenger angegeben werden kann. Einige Beispiele:
Beispiel 1: Es wird oft angegeben, dass jeder metrische Tensor "lokal flach" ist. Was dies bedeutet, dass jeder Punkt$x\in M$ hat eine Nachbarschaft $U$ das ist eine Koordinatenumgebung mit einem Koordinatensystem $x^\mu$ so dass bei $x$ wir haben $g_{\mu\nu}(x)=\eta_{\mu\nu}$ und $\partial_\kappa g_{\mu\nu}(x)=0$.
Beachten Sie, dass die Nachbarschaft $U$ist endlich, aber das Ergebnis gilt im Wesentlichen nur für die "infinitesimale Nachbarschaft erster Ordnung" des Punktes. Ohne ein anderes Gerüst wie die synthetische Differentialgeometrie gibt es keine Möglichkeit, dies genau zu formulieren, aber man kann sich vorstellen, dass die infinitesimale Nachbarschaft erster Ordnung von$x$ ist die (fiktive) Region $U_1$ was beinhaltet $x$ und hat die Eigenschaft, dass für jeden Punkt $x+dx$ das ist auch in $U_1$ (dh unendlich nahe an $x$) wir haben $f(x+dx)=f(x)+\partial_\mu f(x)dx^\mu$als exakte (und nicht als approximative) Beziehung für jede glatte Funktion$f$.
Beispiel 2: Differentialoperatoren. Das äußere Derivat$d$ist zum Beispiel ein lokaler Operator in beiden Sinnen. Es ist ein lokaler Betreiber im Sinne einer endlichen Nachbarschaft, denn wenn$A$ und $B$ sind unterschiedliche Formen, die sich auf eine offene Nachbarschaft von einigen $x\in M$, dann $dA=dB$ auf diese Nachbarschaft , aber es ist auch ein "infinitesimal lokaler" Operator in dem Sinne, dass wenn$A,B$ sind Differentialformen auf $M$ so dass bei $x\in M$ wir haben $j^1_xA=j^1_xB$ (Dies bedeutet im Wesentlichen, dass $A(x)=B(x)$ und in jedem Diagramm haben sie die gleichen ersten Ableitungen bei $x$), dann $dA(x)=dB(x)$.
Für die Beispiele von OP ist der Krümmungstensor ein infinitesimales Maß für die Krümmung. Wenn der Krümmungstensor an einem Punkt verschwindet, bedeutet dies, dass jede Schleife in der infinitesimalen Nachbarschaft zweiter Ordnung dieses Punktes einen integrierbaren parallelen Transport aufweist.
Das Verschwinden der Krümmung an einem Punkt hat keine endlichen Auswirkungen auf die Geometrie des Verteilers.
Um die Sache zu komplizieren, stelle ich auch fest, dass, wenn der Krümmungstensor in der gesamten Mannigfaltigkeit verschwindet, seine Wirkung auf den parallelen Transport ebenfalls nur lokal ist, jetzt aber endlich lokal. Wenn der gesamte Krümmungstensor verschwindet, garantiert dies, dass der parallele Transport in einer offenen Nachbarschaft jedes Punkts wegunabhängig ist, aber die entsprechende globale Aussage ist aufgrund rein topologischer Hindernisse nicht unbedingt wahr, ein Begriff, der in der sogenannten Null erfasst wird -holonomie (vgl. Aharonov-Bohm-Effekt).
Wenn eine Aussage als "lokal" wahr bezeichnet wird, ist dies im Allgemeinen eine Epsilon-Delta-Behauptung: gegeben eine $\epsilon>0$, es gibt einige $\delta$ so dass, wenn die Eingänge innerhalb sind $\delta$, dann werden die Ausgänge innerhalb sein $\epsilon$. Wenn zum Beispiel jemand sagt, dass die Erdoberfläche lokal einem Referenzrahmen entspricht, der mit 9,8 m / s ^ 2 beschleunigt, bedeutet dies, dass bei einem bestimmten Punkt auf der Erde einige Berechnungen durchgeführt werden sollen und einige$\epsilon$, es gibt einige $\delta$ so dass, wenn Sie nicht mehr als gehen $\delta$ von diesem Punkt entfernt wird die Berechnung innerhalb sein $\epsilon$ von dem, was Sie in einem gleichmäßig beschleunigten Referenzrahmen beobachtet hätten.
Wenn Sie eine geometrischere Methode suchen, um herauszufinden, was "lokal" bedeutet, können Sie jederzeit die Fermi-Normalkoordinaten für einen Punkt berechnen:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_coordinates
Der entscheidende Punkt hierbei ist, dass dieses Koordinatensystem für einen bestimmten Punkt den metrischen Tensor an diesem Punkt gleich der Minkowski-Metrik macht und die Christoffel-Symbole nur an diesem Punkt Null sind . Dann können Sie eine Toleranz auswählen, und dann ist die "lokale Nachbarschaft" die Raumzeitregion, in der das größte Christoffel-Symbol einen Wert hat, der unter dieser Toleranz liegt.
Ein schnelleres Verfahren ohne spezielle Koordinaten (aber mit weniger direktem Appell an die "Ähnlichkeit mit der Ebenheit") besteht darin, dasselbe zu tun, aber dies zu bemerken $R^{abcd}R_{abcd}$ (Dies ist die einfachste Invariante, von der ich mir vorstellen kann, dass sie für jede mir bekannte nicht flache Raumzeit ungleich Null ist.) Sie hat Einheiten mit umgekehrter Länge zur vierten, sodass eine über der vierten Wurzel davon eine grobe Skala für ein "ergibt. Krümmungsradius "der lokalen Raumzeit, daher sind Entfernungen, die kleiner als diese sind, lokal.