Inviscid Burgers 'Gleichung: Zeichnen des Schocks [Duplikat]

Question

Löse die Burger-Gleichung $$ \left\{\begin{aligned} u_{t}+uu_x &=0 \quad \text { for } \quad t>0 \\ u(x, 0) &=u_{0}(x) \end{aligned}\right. $$ mit $u=u(x,t)$ und die Nebenbedingung $u(x,0)=-x$.

Mir ist bekannt, dass eine ähnliche Frage mit der Anfangsbedingung u = x bereits gestellt wurde, und dies, weil ich mich gefragt habe, was der Unterschied wäre, wenn die charakteristischen Linien auf Konvergenz eingestellt sind.

Answer 1

Aus dem impliziten Funktionssatz ergibt sich Folgendes

$$u_t+uu_x = 0 \implies \frac{dx}{dt}=u$$

Mit anderen Worten, die Steigungen der Eigenschaften hängen vom Wert von ab $u$. Mit$u=x$können Sie sehen, dass die Eigenschaften, die bei negativ beginnen $x$ Bewegen Sie sich nach links (negative Steigung) und umgekehrt für positive $x$. Könnten Sie das Verhalten für begründen$u=-x$ stattdessen?

Bonusfrage, technisch gesehen könnte der Schock in beiden Situationen als alles gewählt werden, aber wie wählt man die maximale Entropielösung für beide aus $u=x$ und $u=-x$ ?