So finden Sie alle Funktionen $f:\mathbb R\to\mathbb R$ so dass $\forall a,b\in\mathbb R$:: $f(a)+f\big(a+f(b)\big)=b+f\big(f(a)+f^2(b)\big)$ [Duplikat]
Finde alle Funktionen $ f : \mathbb R \to \mathbb R $ so dass für alle $ a , b \in \mathbb R$:: $$ f ( a ) + f \big( a + f ( b ) \big) = b + f \big( f ( a ) + f ^ 2 ( b ) \big) \text . $$
Hier für jeden $ n \in \mathbb N $, $ f ^ n $ bezeichnet die $ n $-te Iteration von $ f $.
Meine bisherigen Ideen:
Ich habe ersetzt $ ( 0 , x ) $ das ergibt: $$ f ( 0 ) + f ^ 2 ( x ) = x + f \big( f ( 0 ) + f ^ 2 ( x ) \big) \text . \tag 1 \label 1 $$
Sagen wir das mal $ a , b \in \mathbb R $, $ a \ne b $ und $ f ( a ) = f ( b ) $. Dann ändert die LHS den Wert mit nicht$ a , b $aber die RHS tut. Das ist ein Widerspruch und damit$ f ( a ) = f ( b ) \implies a = b $. Die Funktion ist daher injektiv.
Wenn wir ersetzen $ \big( x , f ( x ) \big) $ Wir können die Funktionen folgendermaßen kreuzen: $$ f \big( x + f ^ 2 ( x ) \big) = f \big( f ( x ) + f ^ 3 ( x ) \big) \text ; $$ $$ \therefore \quad x + f ^ 2 ( x ) = f ( x ) + f ^ 3 ( x ) \text . \tag 2 \label 2 $$
Wenn wir annehmen $ f ( 0 ) = 0 $, wir haben $ f ^ 2 ( x ) = x + f ^ 3 ( x ) $.
Mit \ eqref {2} erhalten wir$ f ( x ) = 2 x $. Dies erfüllt jedoch nicht die Funktionsgleichung und wir können daraus schließen$ f ( 0 ) \ne 0 $.
Mir ist auch aufgefallen, wenn Sie ersetzen $ f ( x ) $ zum $ x $, du erhältst $ f ( x ) + f ^ 3 ( x ) =f ^ 2 ( x ) + f ^ 4 ( x ) $ und ausdrücken $ f ^ 3 ( x ) $ Aus \ eqref {2} erhalten wir ein interessantes Ergebnis: $ f ^ 4 ( x ) = x $ was bedeutet, dass die Funktion mit einem Zyklus von iterativ ist $ 4 $ (oder $ 2 $ oder $ 1 $).
Ich bin nicht sicher, wie ich fortfahren soll oder welche Substitution ich als nächstes versuchen soll.
Antworten
Sie können zeigen, dass es keine Funktion gibt $ f : \mathbb A \to \mathbb A $ befriedigend $$ f ( x ) + f \big( x + f ( y ) \big) = y + f \Big( f ( x ) + f \big( f ( y ) \big) \Big) \tag 0 \label 0 $$ für alle $ x , y \in \mathbb A $, wo $ ( \mathbb A , + ) $ist jede abelsche Gruppe mit dem neutralen Element $ 0 $und die Umkehrfunktion $ - $, so dass es gibt $ b \in \mathbb A $ mit $ 5 b \ne 0 $. Wie Sie interessiert sind$ \mathbb A = \mathbb R $mit dem Gruppenbetrieb $ + $ Dies wäre der Fall, da jede reelle Zahl ungleich Null als gewählt werden kann $ b $.
Um dies zu sehen, ersetzen Sie $ f ( x ) $ zum $ x $und sieh das $$ f \big( f ( x ) \big) - y = f \Big( f \big( f ( x ) \big) + f \big( f ( y ) \big) \Big) - f \big( f ( x ) + f ( y ) \big) \\ = f \Big( f \big( f ( y ) \big) + f \big( f ( x ) \big) \Big) - f \big( f ( y ) + f ( x ) \big) = f \big( f ( y ) \big) - x \text , $$ was insbesondere zeigt $$ f \big( f ( x ) \big) = f \big( f ( 0 ) \big) - x \text . \tag 1 \label{1a} $$ Putten $ x = 0 $ in \ eqref {0} und mit \ eqref {1a} haben Sie $$ f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) - y = y + f \Big( f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) - y \Big) \text , $$ was durch vermieten $ a = f ( 0 ) + f \big( f ( 0 ) \big) $ und ersetzen $ - x + a $ zum $ y $ zeigt, dass $$ f ( x ) = 2 x - a \text . \tag 2 \label{2a} $$ Mit \ eqref {1a} und \ eqref {2a} erhalten Sie $ 5 x = 0 $ für alle $ x \in \mathbb A $und insbesondere für $ x = b $, was ein Widerspruch ist.
Für alle $ b \in \mathbb A $ist in Ordnung $ 5 $, wählen Sie eine $ a \in \mathbb A $ und nehmen $ f $ Um die Form \ eqref {2a} zu haben, ist die Gleichung \ eqref {0} für alle erfüllt $ x , y \in \mathbb A $. Um dies zu sehen, verwenden Sie \ eqref {2a}, um \ eqref {0} als neu zu schreiben$$ 2 x - a + 2 ( x + 2 y - a ) - a = y + 2 \big( 2 x - a + 2 ( 2 y - a ) - a \big) - a \text , $$ oder gleichwertig $$ 4 x + 4 y - 4 a = 4 x + 9 y - 9 a \text , $$ das ist wahr seit $ 5 y = 0 $ und $ 5 a = 0 $. Da die Ableitungen, die zu \ eqref {2a} führten, für jede abelsche Gruppe gültig waren (unabhängig von der Reihenfolge ihrer Elemente), haben wir in diesem Fall alle Lösungen charakterisiert. Beispiele für abelsche Gruppen, in denen die Reihenfolge jedes Elements ist$ 5 $sind triviale Gruppen , die zyklische Gruppe $ \mathbb Z _ 5 $und das direkte Produkt von$ \mathbb Z _ 5 $ mit sich selbst.