Spektrale Zerlegung gegen Taylor-Expansion

Nov 30 2020

Diese Frage und die Kommentare und Antworten, die sie erhalten hat, haben mich ermutigt, diese Frage zu stellen, obwohl ich weiß, dass es einige Leute geben wird, die denken, dass dies in das Mathematikforum gehört. Ich denke jedoch, dass dieses Thema für mathematische Physiker relevanter ist als für reine Mathematiker.

Motivation: Eine der Antworten auf diese Frage erklärt, dass wenn$f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ ist geeignete Funktion und $A\colon\text{Dom}(A)\subset H\to H$ist ein geeigneter Operator, können wir definieren \ begin {Gleichung} f (A): = \ int _ {\ mathbb C} f \, \ mathrm {d} P_A \ end {Gleichung} wobei$P_A\colon B(\mathbb C)\to B(H)$ist eine Maßnahme. Es ist jedoch viel einfacher, die Definition in Form von konvergenten Reihen zu verstehen, z. B. im Fall des Exponentials oder des Logarithmus. (In der statistischen Physik,$S=k_B\langle\ln\rho\rangle$ ist die Entropie, wenn $\rho$ist der Dichteoperator .) Deshalb würde ich gerne wissen:

Ist es auch möglich zu schreiben $f(A)$ in Bezug auf eine konvergierende Reihe, wenn $f$Hat irgendwann eine Taylor-Expansion ?

Für den Fall, dass die Antwort ja lautet, frage ich mich auch, ob es einen relativ einfachen Weg gibt, um zu sehen, wie das Integral und die Reihe äquivalent sind. (Soweit ich weiß, Integrale - sogar$\int_{\mathbb C}f\,\mathrm{d}P_A$ - kann als Grenze einiger Serien ausgedrückt werden, also wäre das vielleicht ein guter Ausgangspunkt).

Beispiele: Der Ausdruck \ begin {Gleichung} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} A ^ n \ end {Gleichung} ist immer dann sinnvoll$A$ ist ein Element eines vollständig normierten Raumes und konvergiert zu $\mathrm{e}^A=\int_{\mathbb C}\text{exp}\,\mathrm{d}P_A$ wann $A$ist geeigneter Betreiber ( Quelle ).

Es ist sogar bekannt, dass \ begin {Gleichung} \ left (\ sum_ {k = 1} ^ N (-1) ^ {k + 1} \ frac {(A- \ text {id}) ^ k} {k} \ rechts) _ {N \ in \ mathbb N} \ end {Gleichung} konvergiert zu$\text{ln}(A)$Unter bestimmten Umständen (siehe hier und hier ) habe ich mich gefragt, ob es eine allgemeine Regel gibt. Das heißt, wenn wir \ begin {Gleichung} f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (xb) ^ n haben, \ end {Gleichung} in einer Nachbarschaft von$b$ist \ begin {Gleichung} f (A) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (Ab \ cdot \ text {id}) ^ n? \ end {Gleichung}

Antworten

9 ValterMoretti Dec 01 2020 at 01:17

Wenn der Betreiber $A$ gehört $B(H)$ (Der Raum von überall definierten begrenzten Operatoren auf dem Hilbert-Raum $H$) und ist normal: $$A^*A=AA^*$$ dann lässt es eine spektrale Zerlegung zu $$A = \int_{\mathbb{C}} z dP(z) = \int_{\sigma(A)} z dP(z)$$ und mit einer offensichtlichen Notation, $|\sigma(A)| \leq ||A|| <+\infty$.

In diesem Fall (und auch im allgemeinen Fall wo $A$ ist unbegrenzt (dicht definiert, geschlossen, normal)), $$f(A) := \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ für jede messbare Borel-Funktion $f: \sigma(A) \to \mathbb{C}$. In diesem Fall ist die Antwort relativ einfach.

Vorschlag .

Lassen $A \in B(H)$ normal sein und überlegen $f: \Omega \to \mathbb{C}$ eine analytische Funktion am offenen Set $\Omega \subset \sigma(A) \subset \mathbb{C}$.

Wenn $z_0 \in \Omega$ und die Taylor-Erweiterung von $f$ um $z_0$ $$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n$$ hat Konvergenzradius $R+\epsilon$ für einige $\epsilon>0$, und schlussendlich $$\sigma(A) \subset C_R(z_0):= \{ z\in \mathbb{C}\:|\: |z-z_0| <R\}$$ dann $$f(A) = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n$$ wo die Konvergenz der rechten Seite in der Norm von ist $B(H)$.

Beweis . Wir gehen von der Ungleichung aus $$||\int_{\mathbb{C}} g(z) dP(z)|| \leq ||g||_\infty$$ was gültig ist wenn $g$ist Borel-messbar und begrenzt. Diese Ungleichung gilt auch dann, wenn$A$ ist nicht begrenzt.

Diese Ungleichheit ausnutzen, die wir haben $$\left|\left|\int_{\sigma(A)} \left[\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right] dP(z)\right|\right| \leq \sup_{z\in \sigma(A)}\left|\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right| \to 0$$ zum $N\to +\infty$da die Konvergenz der Taylor-Expansion in jedem Kompakt in der Konvergenzscheibe gleichmäßig ist. Beachte das$\sigma(A)$ ist in der Tat ein kompakter enthalten in $C_{R+\epsilon}(z_0)$.

Verwendung der Definition von $g(A)$Das haben wir also $$\int_{\sigma(A)} \sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n dP(z) \to \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ in Bezug auf die Norm von $B(H)$. Mit anderen Worten, wenn$N\to +\infty$ $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (A-z_0I)^n = f(A)$$ in dieser Topologie. Das ist die These. QED

Es gibt andere Ergebnisse, die analog bewiesen werden können und die den Fall von umfassen $A$unbegrenzt (dicht definiert, geschlossen und normal). Wenn $\psi$ gehört zum Projektionsraum von $\int_{E} 1 dP(z)$, wo $E \subset C_{R}(z_0)$ ist eine begrenzte Borel-Menge (so dass $\psi$ ist ein analytischer Vektor von $A$), dann $$f(A)\psi = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n\psi$$ wo jetzt die Konvergenz in der Hilbert-Raumnorm liegt.