At-on $2r_{0}(n)\lesssim k_{0}(n)(\log n)^{1+1/k_{0}(n)}$?
Sous la conjecture de Goldbach, j'essaie de trouver une borne supérieure pour $r_{0}(n):=\inf\{r>0,(n-r,n+r)\in\mathbb{P}^{2}\}$ cela généraliserait la conjecture de Cramer.
Dénotant par $k_{0}(n)$ la quantité définie comme $\pi(n+r_{0}(n))-\pi(n-r_{0}(n))$, Il paraît que $2r_{0}(n)\lesssim k_{0}(n)(\log n)^{1+1/k_{0}(n)}$.
Existe-t-il une heuristique suggérant que cela est vrai ou une preuve conditionnelle de celle-ci?
Réponses
Cette conjecture est incompatible avec la conjecture de Cramer. En effet, Cramer prédit que, pour des$k$ nous avons $p_{k+1}-p_k\gg(\log p_k)^2$. Laisser$n=\frac{p_{k+1}+p_{k-1}}{2}$. ensuite$r_0(n)=\frac{p_{k+1}-p_{k-1}}{2}\gg(\log n)^2$, tandis que $k_0(n)=\pi(p_{k+1})-\pi(p_{k-1})=2$, donc votre conjecture prédirait $(\log n)^2\ll(\log n)^{3/2}$, ce qui échoue bien sûr.