Minimisation de la variance par rapport au déficit attendu : distributions où la différence est saillante
Dans la théorie du portefeuille en finance, étant donné un ensemble de$n$actifs parmi lesquels choisir, on sélectionne souvent des pondérations de portefeuille de manière à maximiser le rendement attendu et à minimiser une certaine mesure du risque, par exemple la variance ou le manque à gagner attendu *. Si nous considérons les rendements des actifs comme des variables aléatoires, nous recherchons une combinaison linéaire, avec des pondérations se résumant à l'unité, de variables aléatoires qui ont une valeur attendue élevée et une faible mesure du risque. Considérons seulement deux actifs,$n=2$, et supposons que les rendements attendus de tous les actifs sont égaux à la même constante, par exemple zéro.
Des questions:
- Quelles sont certaines distributions bivariées qui permettent de minimiser la variance tout en conservant un important déficit attendu, ou vice versa ?
- Quelles sont certaines distributions bivariées qui produiraient des poids optimaux substantiellement différents lors de la minimisation de la variance par rapport à la minimisation du déficit attendu ?
- Qu'est-ce qui caractérise de telles distributions ? (Des exemples réalistes de la finance seraient appréciés.)
*$q\%$le déficit attendu (c'est-à-dire la perte de queue attendue ou la valeur conditionnelle à risque) est simplement la moyenne de la queue gauche de la variable aléatoire, la queue étant coupée au$q\%$niveau quantile.
Le sujet couvre à la fois la finance et les statistiques. La question a déjà été publiée sur Cross Validated mais n'a reçu aucune réponse. Je le reposte maintenant ici. Bien que la publication croisée ne soit pas recommandée, je conserverai le message sur Cross Validated au cas où il pourrait éventuellement attirer une réponse là-bas.
Réponses
De tels calculs deviennent rapidement désordonnés même dans le cas bivarié et sont mieux traités par des simulations. Cela dit, la question de base sur la différence fondamentale entre l'optimisation utilisant le risque extrême et les mesures de risque basées sur la variance peut être illustrée par un calcul simple utilisant uniquement le rendement total du portefeuille.
En termes simples, la différence philosophique et pratique est que les mesures de risque de queue ne se concentrent que sur les queues tandis que la variance intègre les informations de l'ensemble de la distribution. Toutes les autres différences découlent alors de cette distinction fondamentale.
Décomposition queue/non queue
Je pense qu'il est tout à fait suffisant d'analyser le cas univarié. Laisser$S$désignent le rendement total du portefeuille (par exemple$S = wX + (1-w)Y$pour deux actifs$X$et$Y$avec poids$0\leq w \leq 1$).
Avec la queue de probabilité$0<q < 1$et le quantile de queue$s_q$( c'est à dire$\mathbb{P}[S<s_q] = q$) nous pouvons distinguer la queue$\{ S \leq s_q\}$et sans queue$\{ S > s_q\}$régions de$S$en utilisant la variable de Bernoulli$Z = \mathbb{1}_{\{ S \leq s_q\}} $. Laisser$F_S$être la distribution de$S$et$\hat{F} = F_S \mid \{Z = 0\}$être la distribution conditionnelle supérieure ou non terminale et$\check{F} = F_S \mid \{Z = 1\}$soit la distribution conditionnelle de queue inférieure. Ces distributions sont des distributions inférieures respectivement supérieures tronquées . De plus, nous avons besoin$\hat{e}$et$\check{e}$les attentes ainsi que les écarts$\hat{v}^2$et$\check{v}^2$de$\hat{F}$et$\check{F}$.
Pour simplifier, supposons que$S$a une densité continue. Alors$-\check{e}$est le manque à gagner attendu de$S$. Par la loi de l'espérance totale en utilisant$\mathbb{E}[S]=0$on voit que :$$ 0 = \mathbb{E}[S] = q \check{e} + (1 - q)\hat{e}$$ou$$\hat{e} = -\frac{q}{1-q}\check{e}.\tag{1}\label{1}$$
De la même manière, seulement maintenant en utilisant la loi de la variance totale , nous pouvons décomposer la variance de$S$:$$ \begin{align}\mathbb{V}ar[S] &= \mathbb{E}[\mathbb{V}ar[S\mid Z]] + \mathbb{V}ar[\mathbb{E}[S\mid Z]\\ &= q \check{v}^2 + (1 - q)\hat{v}^2 + \frac{q}{1-q}\check{e}^2\tag{2}\label{2}. \end{align}$$Pour le troisième terme on utilise le fait que$Z$est Bernoulli avec$\mathbb{P}[Z=1]=q$et le rapport$(\ref{1})$entre les deux valeurs possibles de$\mathbb{E}[S\mid Z].$
Interprétation
Selon$(\ref{2})$la variance peut être décomposée en deux variances "intra" c'est-à-dire la variance queue et non queue et une variance "intermédiaire" résultant de la différence de moyenne entre queue et non queue.
Alors oui, en effet, un grand manque à gagner attendu entraînera la variance. En ce sens, l'optimisation de la variance et du déficit attendu fournira des directions similaires. Mais la variance incorpore des termes supplémentaires, qui sont complètement ignorés par l'optimisation du déficit attendu. Et bien que l'on puisse dire et dans la pratique souvent$\check{v}^2$sera étroitement lié à$\check{e}$par les queues des distributions d'actifs disponibles, le comportement$\hat{v}^2$est souvent assez distincte et quelque peu dominante, surtout si$q$est très petit. Dans le cadre de l'optimisation de la variance, il est très logique de prendre un peu plus de risque extrême pour se débarrasser de la volatilité non extrême.
Ce comportement myope est également la raison pour laquelle l'optimisation pure du déficit attendu (ou de la valeur à risque) sera rare dans la pratique. Ce n'est pas une consolation d'être bien géré au niveau de 1 sur 100 ans, si vous subissez régulièrement des pertes.