Question sur la démonstration du théorème de Fermat étendu sur des sommes de deux carrés

Question

Laisser $m$être un entier positif impair. Montre CA$m$ peut être écrit comme une somme de deux carrés $m = a^2 + b^2$ avec $\gcd(a,b) = 1$ si et seulement si chaque facteur premier de $m$ est congru à $1 (\text{mod}~4)$.

$\mathbf{My~Attempts:}$
Notez que si $m$est un nombre premier impair, alors l'énoncé est vrai par le théorème de Fermat sur des sommes de deux carrés.
Alors laisse$m$ être le nombre entier positif impair composé.

Prouvez d'abord si chaque facteur premier de $m$ est congru à $1~(\text{mod}\ 4)$ puis $m = a^2 + b^2$ avec $\gcd(a,b) = 1$.
Supposons que chaque facteur premier de$m$ est congru à $1~(\text{mod}\ 4)$
Laisser $m = p_1 p_2 \cdots p_n$ être la première factorisation de $m$ et chacun $p_i$sont étranges.
Ensuite, par hypothèse, chacun$p_i \equiv 1 ~(\text{mod}~4)$ qui par le théorème de Fermat sur des sommes de deux carrés, $p_i = a_i^2 + b_i^2$ pour certains $a_i, b_i \in \mathbb{N}$.
Alors,$m = (a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2) \cdots (a_n^2 + b_n^2) = [(a_1 a_2 + b_1 b_2)^2 + (b_1 a_2 - a_1 b_2)^2](a_3^2 + b_3^2) \cdots (a_n^2 + b_n^2)$.
Laisser$x_1 = (a_1 a_2 + b_1 b_2)$ et $y_1 = (b_1 a_2 - a_1 b_2)$.
Ensuite nous avons$m = (x_1^2 + y_1^2)(a_3^2 + b_3^2) \cdots (a_n^2 + b_n^2)$.
Maintenant, répétez ce processus$n-2$ fois et laissez chacun $x_i = (x_{i-1} a_{i+1} + y_{i-1} b_{i+1})$ et laissez chacun $y_i = (y_{i-1} a_{i+1} - x_{i-1} b_{i+1})$.
Ensuite, nous aurons$m = (x_{n-1}^2 + y_{n-1}^2)$ où $x_{n-1} = (x_{n-2} a_n + y_{n-2} b_n)$ et $y_{n-1} = (y_{n-2} a_n - x_{n-2} b_n)$.
Où$x_{n-1}$ et $y_{n-1}$sont tous deux des entiers positifs.
Laisser$a = x_{n-1}$ et $b = y_{n-1}$.
Alors, nous avons prouvé que$m$ peut être écrit comme une somme de deux carrés $m = a^2 + b^2$.

$\mathbf{Problems:}$
Maintenant je suis resté sur la façon de le prouver $\gcd(a,b) = 1$dans ce cas !! Aussi, je ne sais pas comment prouver l'inverse de l'énoncé où si$m = a^2 + b^2$ avec $\gcd(a,b) = 1$ alors chaque facteur premier de $m$ est congru à $1~(\text{mod}~4)$ !

Answer 1

Voici une approche quelque peu différente. Tout d'abord, comme vous l'avez fait, la partie "si" désigne chaque facteur premier de$m$ est congru à $1 \pmod{4}$. Comme le montre la réponse à Somme de deux carrés et factorisations premières , le théorème de Fermat sur la somme des carrés énonce chaque facteur premier$p_i$ de $m$peut être écrit comme la somme des carrés. Aussi, pour tout$c, d, e, f \in \mathbb{R}$,

$$(c^2 + d^2)(e^2 + f^2) = (ce \pm df)^2 + (cf \mp de)^2 \tag{1}\label{eq1A}$$

montre quand $2$ les nombres peuvent être écrits comme une somme de carrés, leur produit peut aussi être, en $2$différentes façons. Utilisation répétée de \ eqref {eq1A} avec le résultat précédent (à partir de$1$) et pour chaque $p_i \mid m$ désigne le produit final, c'est-à-dire $m$, peut être écrit comme une somme de carrés.

En ce qui concerne la preuve, vous pouvez choisir un $a$ et $b$ où $\gcd(a, b)$, la réponse à Tout produit de nombres premiers sous la forme de 4n + 1 est la somme de 2 carrés relativement premiers le montre, paraphrasé ci-dessous.

Comme indiqué dans \ eqref {eq1A}, le produit du $2$ les sommes de carrés peuvent être exprimées en $2$façons. Avoir$c^2 + d^2$, avec $\gcd(c, d) = 1$, être un produit de $1$ ou plusieurs nombres premiers de la forme $4n + 1$, et $e^2 + f^2$être un premier de cette forme à multiplier. Considérons si la première forme de \ eqref {eq1A}, c'est-à-dire,$(ce + df)^2 + (cf - de)^2$, n'est pas valide, c'est-à-dire qu'il y a un premier $q$qui divise chaque terme. Ça signifie

$$q \mid (ce + df)e + (cf - de)f = c(e^2 + f^2) \tag{2}\label{eq2A}$$

$$q \mid (ce + df)f - (cf - de)e = d(e^2 + f^2) \tag{3}\label{eq3A}$$

Depuis $q$ ne divise pas $c$ et $d$, puis $q \mid e^2 + f^2 \implies q = e^2 + f^2$. Si les deux types de solution dans \ eqref {eq1A} ne sont pas valides, alors$e^2 + f^2$ se divise $ce - df$ aussi bien que $ce + df$, et donc divise $2ce$ et $2df$. Depuis$e^2 + f^2$ ne divise pas $2e$ ou $2f$, il faut diviser les deux $c$ et $d$, contrairement à l'hypothèse, signifiant au moins un des $2$les formulaires doivent être valides. Ainsi, utilisez la forme valide, et répétez cette procédure pour chaque nombre premier qui est multiplié, pour finalement obtenir$m$.

Pour la partie "seulement si", similaire à la réponse à If$a \in \Bbb Z$ est la somme de deux carrés alors $a$ne peut pas être écrit sous laquelle des formes suivantes? , supposons qu'il y ait un prime$p \equiv 3 \pmod{4}$ avec $p \mid m$. Si$p \mid a$, puis $p \mid b$, et vice versa, mais depuis $\gcd(a, b) = 1$, puis $p$ ne peut pas diviser non plus $a$ ou $b$. Donc,$a$ a un inverse multiplicatif, appelez-le $a'$, modulo $p$. Laisser$r = \frac{p-1}{2}$ et note $r$est impair. En utilisant également le petit théorème de Fermat, cela donne (notez que l'argument ci-dessous est fondamentalement équivalent à montrer$-1$n'est pas un résidu quadratique modulo$p$ si $p \equiv 3 \pmod{4}$)

$$\begin{equation}\begin{aligned} a^2 + b^2 & \equiv 0 \pmod{p} \\ a^2(a')^2 + b^2(a')^2 & \equiv 0 \pmod{p} \\ 1 + (ba')^2 & \equiv 0 \pmod{p} \\ (ba')^2 & \equiv -1 \pmod{p} \\ \left((ba')^2\right)^{r} & \equiv (-1)^r \pmod{p} \\ (ba')^{p-1} & \equiv -1 \pmod{p} \\ 1 & \equiv -1 \pmod{p} \end{aligned}\end{equation}\tag{4}\label{eq4A}$$

Ceci, bien sûr, n'est pas possible, ce qui signifie que l'hypothèse originale doit être fausse. Cela confirme tous les facteurs premiers de$m$ doit être congru à $1 \pmod{4}$.