गिज़मोडो मंडे पहेली: शैतानी हैट ट्रिक को कैसे हल करें

हर हफ़्ते आपके दिमाग को पिघलाना एक शुद्ध आनंद रहा है, लेकिन आज का समाधान गिज़मोडो मंडे पज़ल की आखिरी किस्त होगी । उन सभी का धन्यवाद जिन्होंने टिप्पणी की, ईमेल किया, या चुपचाप पहेली सुलझाई। चूँकि मैं आपको हल करने के लिए कुछ भी नहीं छोड़ सकता, इसलिए मॉर्निंग ब्रू न्यूज़लेटर के लिए हाल ही में मेरे द्वारा बनाई गई कुछ पहेलियाँ देखें:

• एक अपरंपरागत मिनी क्रॉसवर्ड 
• एक पेचीदा विषय के साथ एक पूर्ण आकार का क्रॉसवर्ड 
• डिसिफर नामक एक नई कोड तोड़ने वाली पहेली

मैं साइंटिफिक अमेरिकन के लिए गणितीय जिज्ञासाओं पर एक श्रृंखला भी लिखता हूँ, जहाँ मैं गणित से अपने पसंदीदा दिमाग को उड़ाने वाले विचार और कहानियाँ लेता हूँ और उन्हें गैर-गणित दर्शकों के लिए प्रस्तुत करता हूँ। अगर आपको यहाँ मेरी कोई प्रस्तावना पसंद आई है, तो मैं वादा करता हूँ कि आपको वहाँ बहुत सारी रोचक जानकारी मिलेगी। X @JackPMurtagh

पर मेरे साथ संपर्क में रहें क्योंकि मैं इंटरनेट को अपना सिर खुजलाने की कोशिश जारी रखता हूँ।

मज़ा के लिए धन्यवाद,
जैक

पहेली #48 का हल: हैट ट्रिक

क्या आप पिछले हफ़्ते के भयावह दुःस्वप्नों से बच पाए? पहली पहेली को हल करने के लिए bbe को और दूसरी पहेली का प्रभावशाली संक्षिप्त समाधान प्रदान करने के लिए गैरी अब्रामसन को धन्यवाद ।

1. पहली पहेली में, समूह यह गारंटी दे सकता है कि एक व्यक्ति को छोड़कर बाकी सभी बच जाएँगे। पीछे वाले व्यक्ति को अपनी टोपी के रंग के बारे में कोई जानकारी नहीं है। इसलिए, इसके बजाय, वे अपने एकमात्र अनुमान का उपयोग करके पर्याप्त जानकारी संप्रेषित करेंगे ताकि शेष नौ लोग निश्चित रूप से अपनी टोपी का रंग बता सकें।

पीछे वाला व्यक्ति उन लाल टोपियों की संख्या गिनेगा जो उसने देखी हैं। यदि यह विषम संख्या है, तो वह "लाल" चिल्लाएगा, और यदि यह सम संख्या है, तो वह "नीला" चिल्लाएगा। अब, पंक्ति में अगला व्यक्ति अपनी टोपी का रंग कैसे बता सकता है? वे आठ टोपियाँ देखते हैं। मान लीजिए कि वे अपने सामने विषम संख्या में लाल टोपियाँ गिनते हैं; वे जानते हैं कि उनके पीछे वाले व्यक्ति ने सम संख्या में लाल टोपियाँ देखीं (क्योंकि उस व्यक्ति ने "नीला" चिल्लाया था)। यह निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त जानकारी है कि कुल लाल टोपियों की संख्या सम बनाने के लिए उनकी टोपी लाल होनी चाहिए। अगला व्यक्ति यह भी जानता है कि उसके पीछे वाले व्यक्ति ने सम या विषम संख्या में लाल टोपियाँ देखीं और वह अपने लिए भी यही निष्कर्ष निकाल सकता है।

2. दूसरी पहेली के लिए, हम एक ऐसी रणनीति पेश करेंगे जो पूरे समूह को तब तक जीवित रहने की गारंटी देती है जब तक कि सभी 10 टोपियाँ लाल न हों। समूह को केवल एक व्यक्ति को सही अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है, और एक गलत अनुमान स्वचालित रूप से उन सभी को मार देता है, इसलिए एक बार जब कोई व्यक्ति किसी रंग का अनुमान लगा लेता है (पास होने से मना कर देता है), तो उसके बाद आने वाला हर व्यक्ति पास हो जाएगा। लक्ष्य यह है कि लाइन के सामने सबसे नज़दीक नीली टोपी वाला व्यक्ति "नीला" अनुमान लगाए और बाकी सभी पास हो जाएँ। इसे पूरा करने के लिए, हर कोई पास हो जाएगा जब तक कि वे अपने सामने केवल लाल टोपियाँ न देखें (या अगर उनके पीछे कोई पहले से ही अनुमान लगा लेता है)।

यह देखने के लिए कि यह क्यों काम करता है, ध्यान दें कि पंक्ति के पीछे वाला व्यक्ति तब तक आगे निकल जाएगा जब तक कि उसे नौ लाल टोपियाँ न दिखें, ऐसी स्थिति में वह नीली टोपियों का अनुमान लगाएगा। यदि वे नीली टोपियाँ कहते हैं, तो बाकी सभी लोग आगे निकल जाते हैं और समूह जीत जाता है जब तक कि सभी दस टोपियाँ लाल न हों। यदि पीछे वाला व्यक्ति आगे निकल जाता है, तो इसका मतलब है कि उसने अपने आगे कुछ नीली टोपियाँ देखी हैं। यदि दूसरे-से-अंतिम व्यक्ति को अपने सामने आठ लाल टोपियाँ दिखाई देती हैं, तो उन्हें पता है कि वे नीली टोपियाँ हैं और इसलिए वे नीली टोपियों का अनुमान लगाते हैं। अन्यथा, वे आगे निकल जाते हैं। हर कोई तब तक आगे निकल जाएगा जब तक कि पंक्ति के सामने वाला कोई व्यक्ति अपने सामने केवल लाल टोपियाँ न देख ले (या पंक्ति के सामने वाले व्यक्ति के मामले में कोई टोपियाँ न देख ले)। इस स्थिति में पहला व्यक्ति नीली टोपियों का अनुमान लगाता है।

सभी 10 टोपियों के लाल होने की संभावना 1/1,024 है, इसलिए समूह 1,023/1,024 संभावना के साथ जीतता है।