Apakah ada cara yang baik untuk menulis operasi CNOT secara matematis melalui qubit non-tetangga dalam suatu rangkaian? [duplikat]

Aug 19 2020

Saya bertanya-tanya apakah ada cara untuk menyajikan matriks CNOT karena kami biasanya menyajikan operasi qubit tunggal

$$... 1 \otimes NOT \otimes 1 ...$$

Saya tahu bahwa untuk qubit yang berdekatan di sirkuit, kami dapat menyajikannya secara identik

$$... 1 \otimes CNOT \otimes 1 ...$$

Tetapi apakah ada cara untuk menyajikan operasi secara matematis jika ada beberapa CNOT yang bekerja pada kabel yang tidak bersebelahan?

Jawaban

4 chrysaor4 Aug 18 2020 at 23:16

Jika Anda hanya mengacu pada representasi rangkaian abstrak, maka Anda dapat menyusun ulang basis Anda sedemikian rupa sehingga semua qubit yang mengambil bagian dalam CNOT dibuat "berdekatan" sesuai dengan label Anda. Misalnya kalau basa diurutkan seperti$1,2,3$, dan Anda ingin melakukan CNOT antara qubit 1 dan 3, lalu tulis saja seperti

$$ CNOT_{1,3} \otimes I_2 $$

dimana basis sekarang dipesan $1,3,2$. Tetapi jika Anda tidak ingin menyusun ulang basisnya, ada juga cara lain untuk menulis CNOT:

$$ |0\rangle\langle0|\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes X $$

yang dapat mencakup identitas pada keadaan qubit kedua seperti

$$ (|0\rangle\langle0|)_1 \otimes I_2 \otimes I_3 + (|1\rangle\langle1|)_1 \otimes I_2 \otimes X_3 $$

Ini bukan lagi hanya produk kesatuan, yang diharapkan karena tindakan CNOT seharusnya tidak menjadi produk operasi.

1 DaftWullie Aug 18 2020 at 22:57

Secara pribadi, saya hanya mendefinisikan diri saya beberapa notasi. Misalnya, alih-alih TIDAK yang Anda tulis, saya definisikan$X_n$ menjadi $$ X_n=1^{\otimes(n-1)}\otimes X\otimes 1^{\otimes(N-n)}. $$ Demikian pula, saya mungkin akan mendefinisikan $CNOT^i_j$ menjadi dikendalikan-tidak dikendalikan $i$ dan penargetan $j$. Jika saya harus menuliskannya sebagai produk tensor, saya mungkin akan melakukan sesuatu seperti$$ 1^{\otimes N}+1^{\otimes (i-1)}\otimes |1\rangle\langle 1|\otimes 1^{\otimes(j-i-1)}\otimes(X-1)\otimes 1^{\otimes(N-j)} $$ asumsi $j>i$.