Mengekspresikan "Setiap siswa telah lulus setidaknya satu kelas" di FOL

Question

Pertanyaan saya:

Ekspresikan frasa ini dalam bahasa urutan pertama: "Setiap siswa telah lulus setidaknya satu kelas".

Inilah jawaban guru saya:

Kami mendefinisikan $S(x)$ sebagai "objek $x$ adalah seorang pelajar ", $C(x)$ sebagai "objek $x$ adalah kelas "dan $P(x,y)$ sebagai logika predikat - simbol yang diterjemahkan menjadi "siswa $x$ telah lulus kelas $y$". Jadi kita punya:

$\forall x (S(x) \rightarrow \exists y [C(y) \land P(x,y)])$.

Pertanyaan saya bagaimana dengan: "$\forall x S(x) \exists y ( C(y) \land P(x,y))$". Mengapa yang kedua salah?

Answer 1

Mungkin Anda pernah membaca sesuatu seperti

$\forall x \in \mathbb{N} P(x)$

dan coba terapkan pola yang sama pada kalimat yang dimaksud dengan $x \in \mathbb{N}$ sesuai dengan $S(x)$ dan $P(x)$ untuk $\exists y ...$.

Tetapi di atas tidak secara ketat berbicara tentang formula orde pertama, tetapi hanya singkatan dari

$\forall x (x \in \mathbb{N} \to P(x))$

dan biasanya hanya digunakan dengan pernyataan keanggotaan yang ditetapkan $x \in Y$, bukan predikat suka $S(x)$.

Jika Anda menyatakan dua rumus $S(x)$, $\exists y ...$ kemudian dengan sintaks logika predikat, Anda harus memiliki penghubung di antara keduanya sehingga semuanya menjadi rumus lain, dan itu hilang dalam proposal Anda.

---

Selain itu, seperti yang disebutkan di komentar,

$\forall x S(x) \to \exists y (C(y) \land P(x,y))$

adalah tidak solusi yang tepat. Guru Anda mungkin menulis

$\forall x (S(x) \to \exists y (C(y) \land P(x,y)))$

- itu $\forall x$ harus mencakup implikasinya, bukan hanya $S(x)$.