楕円だけがこれらの特性を持っていますか？
2本の平行線が楕円に接しています。これらの2つの線の間で、これら2つの線に平行なすべての線は、2点で楕円と交差します。
これらの2つのポイントの正確な中間点は、2つの接点を結ぶ線上に正確にあります。
ここでの私の質問は、その最後の命題が、楕円のみの平行接線のすべてのペアに当てはまり、他の形状には当てはまらないかどうかです。
PS：現在の目的のために、「接線」を「境界に触れるが、境界を越えない」と定義しましょう。次に、長方形の角を通る斜線は「接線」であり、長方形は対象のプロパティを持つ別の形状の例ではないことがわかります。
PPS：わかりました、問題の説明を少し洗練させましょう。平面内に空でない内部を持つ閉じた有界集合を考えてみましょう。厳密に凸であると仮定します。つまり、2つの点の間のすべての点がその内部点の1つです。これは、境界と交差するが内部とは交差しない線が1点でのみ交差することを意味します。そのような線を接線と呼びます。したがって、すべての接線に対して、それに平行な他の接線が1つだけ存在します。これらの2つに平行で、それらの間のすべての線について、その線と閉じた境界の凸集合との交点の中点が、2つの接点を結ぶ線上にあるとします。
閉じた有界集合が楕円の凸包であるということになるのでしょうか？
回答
与えられた接線特性を持つすべての閉凸区分的微分可能曲線は楕円です。
証明：問題はアフィンです。つまり、曲線に特定のプロパティがある場合、そのプロパティのアフィン変換も同様になります。したがって、曲線の最も広い範囲にある1対の接線から始めて、回転を使用して接線を垂直にし、せん断を使用して曲線を次のようにします。 $\mathcal{C}$ その対称線は $x$-軸。
次に、水平方向の接線のペアを取得します。 $\mathcal{C}$、上下の2点で合流します。この垂直線が$y$軸。次に $\mathcal{C}$ 両方について対称です $x$ そして $y$軸。これらの軸に沿ってスケーリングすると、切片が$1$。他のすべての点は最大で半径を持ちます$1$、ちなみに、元の接線が選択されました。
命題1。 $\mathcal{C}$ バランスが取れている、つまり $x\in \mathcal{C}\implies -x\in\mathcal{C}$。
これは、2つの垂直軸に沿った対称性から直接得られます。
したがって、接線の任意のペアが与えられると、接触点を結ぶ線は原点を通過します。
命題2.曲線は微分可能です。
原点を通る線で反対側の角を結合します。次に$\mathcal{C}$ この線から2組の平行線に沿って等距離になり、矛盾が生じます。
$\hspace{4cm}$
提案3。 $\mathcal{C}$ 半径付き $1$ 垂直な接線があります。
最大半径の点 $r(\theta)=1$ 持つ必要があります $r'=0$。
命題4。 $OA$ そして $OB$ の半径を持っている $1$ それから彼らの二等分線もそうです $OC$。
に平行な接線 $AB$ ある時点でカーブに触れます $C$。この線$OC$ カット $AB$ 仮説によって半分になり、したがって、の中央値と角度の二等分線になります $AOB$、およびに垂直 $AB$。したがって、$\mathcal{C}$ について対称です $OC$ したがって、接線は $C$ に垂直です $OC$。
$\hspace{3cm}$
接線を $C$ で接線を満たす $A$ その時点で $P$。に平行な接線を考慮してください$AC$ とライン $Q'OQ$反対の接線を結合します。この線は中点を通過します$AC$仮説による。限界では、近くのポイント$A'$ オン $AP$ そして $C'$ オン $CP$ と $A'C'$ と並行して $AC$ によっても二等分されます $OQ$ 以来 $AP$ そして $CP$ の接線です $\mathcal{C}$。しかし、これは$OQ$ の中央値です $APC$、 したがって $Q$ オンになっています $OP$。以来$OAPC$ 直径のある共円四辺形です $OP$、二等分された和音 $AC$ に垂直です $OP$ など $OC=OA=1$。
提案5。 $\mathcal{C}$ は円です。
以来 $x$ そして $y$ 切片には半径があります $1$、角度二等分線を取り続けることができ、半径の密な点のセットを形成します $1$。連続性により、すべての点は同じ半径を持ちます。
したがって、元の曲線は円、つまり楕円のアフィン変換です。