階乗の定義

Question

今、私はいつも階乗にかなり興味を持っていました。最初は高校で、教師は階乗は整数に対してのみ定義されていると私に言いました。勉強していると、正の実数と負の分数の階乗が見つかりました。しかし、階乗を定義する積分は、負の整数ではフラットになります。

（-1/2）とroot（3）の階乗を見つけることができるが、-1または-2では見つけられないのはなぜですか？これは階乗の定義に反しますか？もしそうなら、子供たちが階乗を教えられることは決してなく、それはトピックの彼らの推論と認識を曇らせるので、階乗の定義は何ですか。

Answer 1

定義が初歩的であるため、子供は自然の階乗のみを教えられます（ただし $0!=1$ 特別なコメントに値する）。

あなたがそれを現実に拡張したいとき、自然な方法は積分を使うことです

$$I_n=\int_0^\infty x^ne^{-x}dx$$ 再発を確認するため

$$I_n=\int_0^\infty x^ne^{-x}dx=-\left. x^ne^{-x}\right|_0^\infty+n\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}dx=nI_{n-1}$$ そして $I_n=n!$。

積分が意味を保つように $n$ 正の実数、これは拡張のために取られます。

ネガティブについては、再発を保持することは理にかなっています

$$(n-1)!=\frac{n!}n,$$ その結果、負の整数の値は無限になります。

Answer 2

階乗の再帰的定義 $(n+1)! = n! \cdot (n+1)$ 推測するために再配置することができます $$n! = \dfrac{(n+1)!}{n+1}$$

これはそれを解決する1つの方法です $0!=1$、取って $n=0$上記で。ただし、これを実行しようとすると$(-1)!$、問題が発生します： $$(-1)! = \dfrac{(-1+1)!}{-1+1} = \dfrac{0!}{0} = \dfrac{1}{0}$$

しかし、私たちはで割ることはできません $0$、定義できません $(-1)!$。

コメントに記載されているように、ガンマ関数 $\Gamma$ 階乗を非整数に拡張する「正しい」方法です。 $\Gamma$ を満たす必要があるため、負の整数で発散します $\Gamma(n+1) = \Gamma(n) \cdot (n+1)$、したがって、上記と同じ議論が適用されます。