오일러 상수

"이자형". 우리 모두는 "e"를 접했습니다. 뭐야?

영어의 5번째 알파벳과 2번째 모음입니다. 누군가에게 이빨을 보여줄 때 하는 말이다. 그러나 수학자들은 그것을 오일러 상수 로 인식합니다 . π , i, Φ , sqrt{2} 등과 같은 다른 중요한 수학 상수와 나란히 서 있는 이 상수, 무리수는 2.718281828459045235 …

대부분의 수학 상수는 기하학적 상수입니다. 예를 들어, π는 원주와 지름의 비율이고, sqrt{2}는 다리가 단위를 측정하는 직각 삼각형의 빗변 길이입니다. 그러나 "e"는 기하학이나 모양에 의해 정의되지 않는 상수입니다. 성장 또는 변화율을 기반으로 합니다. 하지만 어떻게?

Jacob Bernoulli 가 복리, 즉 돈에 대한 이자를 얻는 방법을 연구 하던 17세기로 돌아가 봅시다 .

당신이 매우 관대한 은행 의 일원이라고 가정해 봅시다 . 당신이 은행에 1루피를 줬고 은행은 연 100%의 이자를 준다고 가정해 봅시다. (실제로 매우 관대 한 은행). 이제 연말에 2루피가 됩니다. 따라서 6개월마다 50%의 이자를 얻는다면 같은 금액인 2루피가 될까요? 아니면 그 이상? 아니면 그 이하? 계산해보고 알아볼까요?

음, 이것은 6개월마다 50%의 이자를 받는 것이 연 100%의 이자를 갖는 것보다 더 많은 이익을 얻는 데 도움이 된다는 것을 보여줍니다. 매달 1/12 이자를 받는다면?

그러면,

주당 이자의 1/52이 주어지면 최종 금액은

매일 1/365의 이자는 어떻습니까? 은행에 1루피를 낸 후 연말까지의 금액은

마찬가지로 매시간, 매분, 매초 또는 심지어 매 밀리초마다 벌어들인 돈의 양을 계산할 수 있습니다!

그래서, 당신은 무엇을 관찰합니까? 이 값은 일반 공식을 사용하여 n이 증가함에 따라 다음과 같이 계산됩니다.

따라서 n의 값이 커질수록 그 값이 일정한 값에 점점 가까워지는 것을 알 수 있습니다. 이것이 "e"의 값입니다.

그러나 Jacob Bernoulli는 상수의 값을 계산하지 않았습니다. 그는 그 값이 2와 3 사이에 있을 것이라는 것을 알고 있었습니다. 마침내 이 상수를 계산하고 그것이 비합리적임을 증명한 사람 은 오일러 였습니다. 그는 값을 계산하기 위해 공식을 사용했습니다.

그러나 또 다른 공식. 그는 다음 공식을 사용했습니다.

이것은 연분 수 입니다. 영원히 계속되면 이 분수에 패턴이 있다고 말할 수 있습니다. 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,… 그렇다면 그것은 무리수 분수입니다. 그것이 종료된다면 분수로 쓸 수 있으므로 합리적이었을 것입니다. 따라서 이것은 "e"가 무리수 상수임을 증명합니다.

"e"의 값을 계산하기 위해 Euler는 다른 공식을 사용했습니다. 그건,

"e"는 성장의 자연어이며 미적분학의 자연어입니다. 왜요?

위에 주어진 그림은 e^x의 그래프를 보여줍니다. 이제 e^x 그래프의 특징은 그래프에서 어떤 점을 취하면 그 점의 값은 e^x이고 해당 점의 기울기는 e^x 이며 해당 점에서 그래프 아래의 영역은 -∞ 앞으로도 e^x입니다. 따라서 e^x를 적분하거나 미분하면 e^x 자체를 얻습니다. 이 상수 "e"는 미적분에서 매우 강력한 도구를 형성합니다.

오일러 상수 "e"는 또한 수학의 큰 상수 중 일부를 하나의 공식, 즉 i, π, 1 및 0인 -1의 근으로 함께 가져오는 것으로 알려져 있습니다. 수학의 아름다운 방정식:

나는 다음 기사에서 이 방정식에 대해 더 많이 쓸 것입니다.