파이겐바움 상수

내 마지막 기사 는 혼돈 이론이 시작된 개념인 나비 효과 에 대해 주로 썼던 혼돈 이론 에 대한 매우 짧은 소개였습니다 . 이전 에 내 기사 중 하나 에서 인구 그래프에 대해 논의한 적이 있습니다. 나는 그래프를 "무화과 나무"라고 불리는 프랙탈로 설명했습니다. 나는 또한 프랙탈이 혼돈 이론의 일부라고 언급했습니다. 그렇다면 혼돈은 어떻게 이 그래프를 형성할까요?

π, sqrt{2}, e, i 등과 같은 다른 유명한 수학 상수와 함께 언급되는 정말 유명한 상수가 있습니다. 저는 개인적으로 최근까지 들어본 적이 없습니다. 이 상수는 " Feigenbaum 상수 "라고 불리며 그 값은 δ = 4.6692016… 두 개의 Feigenbaum 상수가 있습니다. 다른 하나는 α로 기호화되지만, 그것은 이 기사에서 다루지 않을 또 다른 전체 이야기입니다.

1970년대경 로버트 메이( Robert May ) 라는 과학자 는 인구 증가를 모델링한 방정식을 작성한 논문을 썼습니다. 방정식은 다음과 같습니다.

여기서 x_(n+1)은 내년 인구, x_n은 현재 인구, λ는 출산율이다. 이 방정식은 로지스틱 맵이거나 인구 증가에 대한 함수일 뿐입니다. 따라서 기본적으로 이 방정식을 사용하여 우리는 내년에 커뮤니티의 인구가 얼마가 될지 예측할 수 있습니다. 나는 λ가 인구의 출산율과 같다고 말했습니다. 그래서 가치가 높으면 번식력이 높고, 낮으면 번식력이 낮다. λ의 값은 0과 1 사이이며 0은 번식이 없음을 의미하고 1은 완전한 번식을 의미합니다.

이제 인구 증가에 관심이 있었던 과학자들은 미래의 인구 변화를 관찰하기 위해 이 그래프를 반복했습니다. RHS 또는 주어진 방정식의 우변에서 x_n은 생명이고 (1 — x_n)은 죽음입니다.

괜찮아. 이제 x_1에 대해 임의의 값을 취하겠습니다. 0.5로 하면 인구가 절반이 됩니다. 나는 λ의 값을 2.3으로 취하고 있습니다.

따라서 방정식을 사용하여 다음 연도의 인구를 계산하면 x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10, x_11은

각각 0.575, 0.5621, 0.5661, 0.5649, 0.5653, 0.5652, 0.5652, 0.5652, 0.5652, 0.5652.

값이 일정해진 것을 확인할 수 있습니다. 즉, 인구 증가가 안정되었습니다. 이것을 반복에서 고정점 이라고 합니다 .

λ를 변경하면 어떻게 됩니까? 0과 1 사이의 매우 작은 λ를 선택해 보겠습니다. 0.65라고 가정해 보겠습니다. 출산율이 매우 낮으면 어떤 일이 일어날지 직관적으로 알 수 있습니다. 그러나 여전히 x_1을 0.5로 유지하는 것으로 계산해 봅시다. x_2, x_3, x_4….. 계산한 값은 다음과 같습니다.

0.1625, 0.0885, 0.0524, 0.0323, 0.0203, 0.0129, 0.0083, 0.0053, 0.0035, 0.0022, 0.0015, 0.0009, 0.0006, 0.0004, 0.0003, 0.002

인구가 죽었습니다.

더 높은 출산율 값, 예를 들어 3.2를 취하면 어떻게 될까요?

x_1을 0.5로 다시 계산했습니다. 많은 반복 후에 값이 다음과 같이 진행된다는 것을 알았습니다.

0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304,…

이제 신중하게 선택한 λ 값인 3.5를 사용하겠습니다.

x_1을 0.5로 하고 다시 계산을 진행하면서 많은 반복 후에 값이 다음과 같이 진행된다는 것을 알았습니다.

0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.8.06, 0.38281, 0.38281

이번에는 값이 4개 값에서 안정적입니다.

이제 우리가 본 모든 사례로 그래프를 만들어 봅시다.

가) 인구가 안정되었을 때

b) 인구가 사망했을 때

c) 모집단이 두 값 사이에서 튀는 경우

d) 인구가 4개의 값 사이에서 바운스되는 경우

이제 얻은 결과를 사용하여 x축에 λ를, y축에 모집단을 사용하여 그래프를 그릴 것입니다. 다음은 얻을 수 있는 것입니다.

λ = 3.2일 때 반복되는 두 값을 얻었습니다. 따라서 그래프가 거기에서 분기되는 것을 알 수 있습니다. 'Bifurcate'는 그래프가 분기되는 것을 말하는 정교한 방법입니다. 마찬가지로 약 3.5에서 다시 4개로 분기됩니다. 이것은 계속되지만 훨씬 더 빠른 속도로 진행됩니다. 이제 그래프는 λ 자체의 아주 작은 변화에서 훨씬 더 빠르게 분기됩니다. 잠시 후 그래프는 오른쪽으로 갈수록 놀라운 것을 보여줍니다. 그러나 그 전에 이 기사를 시작했던 Feigenbaum 상수를 정의하겠습니다.

위의 다이어그램에서 볼 수 있듯이 그래프의 각 분기점에서 두 개의 연속 길이를 취하고 그 비율을 찾으면 일정한 비합리적 값인 4.6692016……을 받게 됩니다.

이것은 Feigenbaum 상수입니다. 분기점의 길이가 4.6692016이라는 건데……. 이전보다 몇 배 작습니다. Feigenbaum은 모집단 방정식과 같은 이차방정식을 취하면 매개변수를 만지작거리면서 주기 배가 그래프를 만들 수 있다는 사실을 알아냈습니다. 그리고 두 연속 분기점의 길이 비율을 취하면 모든 이차방정식에 대해 같은 수를 얻을 수 있습니다.

다음은 약 λ = 3.59 이후 그래프의 운명입니다.

그래프가 이상해지거나 혼돈스러워집니다. 이 그래프는 카오스 이론이 알려지기 전에 발견되었지만. 따라서 이 상수와 그래프는 연구 중에 많이 사용되었습니다. 카오스는 나비 효과로 설명되는 것처럼 막대한 변화를 일으키는 초기 조건에 민감합니다. 마찬가지로 여기에서 λ의 아주 작은 변화가 그래프에 엄청난 변화를 일으킬 수 있습니다. 나비효과와 함께 혼돈이론의 시초가 되었다.