$2^{\aleph_0} \geq \aleph_1$

A resposta de Chris Eagle está correta, mas há sutilezas em torno dela que vale a pena mencionar.

Em primeiro lugar, temos que realmente provar que existe um cardeal incontável menor antes de podermos chamá-lo$\aleph_1$, e isso não é trivial. Isso se divide em duas partes, e a chave para a segunda é o axioma da escolha ,$\mathsf{AC}$:

• Sem utilizar $\mathsf{AC}$podemos mostrar que os ordinais são bem (pré) ordenados por cardinalidade e que existe um ordinal incontável. Consequentemente, "o ordinal menos incontável " faz sentido, e isso é o que chamamos$\aleph_1$ ou $\omega_1$(as notações significam a mesma coisa, mas servem como pistas de contexto devido a uma sobrecarga desagradável de notação - veja aritmética cardinal vs. aritmética ordinal e fique triste).

• $\mathsf{AC}$então nos diz que todo conjunto está em bijeção com algum ordinal. Então, na verdade, estamos justificados em nos referir a$\aleph_1$ como "o cardeal menos incontável:" se $X$ é um conjunto incontável, então deve haver uma injeção de $\aleph_1$ para dentro $X$.

Observe que o primeiro ponto acima descreve concretamente $\aleph_1$; no entanto, essa descrição é bastante técnica. Basicamente,$\mathsf{CH}$ é a hipótese de que podemos substituir a descrição baseada em ordinais de $\aleph_1$ com um muito mais intuitivo, ou seja, "a cardinalidade de $\mathbb{R}$. "

Em segundo lugar, o uso da escolha acima sugere uma questão imediata: e se não assumirmos a escolha? Ou seja, e se trabalharmos em$\mathsf{ZF}$ ao invés de $\mathsf{ZFC}$?

Nesse caso, as coisas ficam muito mais complicadas. $\aleph_1$ainda faz sentido, mas é possível que seja incomparável com$\mathbb{R}$: poderia ser o caso de nenhum injetar no outro. (Curiosamente,$\mathsf{ZF}$ se provar que há uma surjection de$\mathbb{R}$ para $\omega_1$, mas não queremos comparar tamanhos de conjuntos por meio de sobreposições: ao contrário das injeções , determinadas sobreposições$A\rightarrow B$ e $B\rightarrow A$ não podemos, em geral, recuperar uma bijeção $A\leftrightarrow B$ sem o axioma de escolha.)

No contexto sem escolha, portanto, também obtemos uma "hipótese do continuum fraco:" esta é a hipótese de que todo conjunto incontável de reais está em bijeção com$\mathbb{R}$. Presumindo uma certa alternativa natural à escolha , temos de fato que$\aleph_1$ e $\mathbb{R}$ são incomparáveis, mas a hipótese do continuum fraco é verdadeira.

Em resumo, o teorema de Cantor mostra que não há sobreposição de $\aleph_0$ para $2^{\aleph_0}$. No entanto, a desigualdade$$2^{\aleph_0}\ge\aleph_1$$ é um pouco mais profundo do que isso: mesmo se assumirmos o axioma da escolha, é preciso algum trabalho para derivá-lo do teorema de Cantor (na verdade, muito mais trabalho do que para provar o próprio teorema de Cantor), e sem o axioma da escolha pode ser falso (enquanto o teorema de Cantor não usa o axioma da escolha).

Por definição, $\aleph_1$é o menor cardeal incontável. Cantor provou que$\mathbb{R}$ é incontável, portanto $|\mathbb{R}|$ é pelo menos tão grande quanto o menor cardeal incontável, então $2^{\aleph_0} \geq \aleph_1$.