A direção da força centrípeta em um movimento circular vertical sob gravidade uniforme
Considere o movimento circular vertical de uma massa pontual conectada ao centro por uma corda rígida. Aqui a gravidade uniforme$m\vec{g}$ atos.
Ilustrei a situação no diagrama abaixo.
Aqui, se fizermos uma adição vetorial de $\vec{T}$ e $m\vec{g}$então temos a força centrípeta de uma direção estranha. É suposto direcionar para o centro, não é?
Vou decompor ainda mais a gravidade nos componentes radial e tangencial. Ver abaixo.
Então o que acontece com isso $mg \sin \theta$componente? Isso não atrapalha o movimento de ser circular?
- Nota: Se tento fazer a força resultante direto para o centro, tenho que mudar deliberadamente a direção da tensão, e isso me parece muito estranho, pois estamos considerando um objeto confinado por um barbante. Portanto, se o mantivermos "natural" (tensão em direção ao centro), podemos realmente dizer que o objeto sofre um movimento circular?
- Outra pergunta: eu entendo que nesta situação, como $mg \cos \theta$muda, a magnitude da força radial tem que mudar e, portanto, a velocidade do objeto tem que mudar. Estamos pensando nisso como um movimento circular local , onde a velocidade$\vec{v}(t_1)$ em um determinado momento $t=t_1$, a força centrípeta $\frac{m|\vec{v}(t_1)|^2}{r} \hat{r}$ é válido apenas para o intervalo de tempo infinitesimalmente pequeno $[t, t + dt]$?
- Resumindo as duas questões acima - podemos considerar quando o objeto está na parte superior ou na parte inferior. Então, não precisamos pensar sobre os componentes das forças, pois todos eles estão na mesma linha vertical. Podemos então argumentar que é localmente um movimento circular por um curto intervalo de tempo$[t, t + dt]$?
Respostas
Em movimento circular, nem sempre é o caso de $F_\text{net}=mv^2/r$. Isso só é válido para movimento circular uniforme . Em geral$mv^2/r$é igual ao componente da força resultante que aponta para o centro do círculo. Há outro componente que você deve considerar: o componente tangente ao caminho circular.
Para movimento plano em coordenadas polares , dividimos a força resultante em dois componentes: centrípeto (ou radial) e tangencial:
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\,\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\,\hat\theta$$
Onde $r$ é a distância da origem, $\theta$é o ângulo polar e um ponto representa uma taxa de mudança no tempo. Para movimento circular,$r$ é constante, então para o movimento circular a segunda lei de Newton se reduz a
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=-mr\dot\theta^2\,\hat r+mr\ddot\theta\,\hat\theta$$
Então, para o seu objeto se movendo no círculo vertical centrado na origem em um campo gravitacional constante, podemos olhar para os dois componentes (observe que o negativo está em direção à origem) $$F_r=-mg\cos\theta-T=-mr\dot\theta^2=-\frac{mv^2}{r}$$ $$F_\theta=mg\sin\theta=mr\ddot\theta$$
$F_r$muda apenas a direção da velocidade, uma vez que este componente de força é sempre perpendicular à velocidade, e$F_\theta$muda apenas a magnitude da velocidade, uma vez que este componente da força é sempre paralelo / antiparalelo à velocidade.
A magnitude da força resultante é então dada por $$F_\text{net}=\sqrt{F_r^2+F_\theta^2}=mr\sqrt{\dot\theta^4+\ddot\theta^2}$$
Que se reduz a $mv^2/r$ para movimento circular uniforme ($\ddot\theta=0$e $\dot\theta=v/r=\text{constant}$)
O exposto acima deve aliviar suas preocupações de que estamos considerando apenas o movimento circular local. Este é apenas um movimento circular. Não há necessidade de trazer complicações desnecessárias.
$mg\sin\theta$não contribui para a força centrípeta, é a aceleração tangencial que é fornecida à massa m. Provoca a diminuição da velocidade da massa durante a subida e o aumento durante a descida. Este não é um caso de movimento circular uniforme. Por causa dessa complicação, geralmente usamos o teorema da energia de trabalho para resolver questões relacionadas a este subtópico. Além disso, a força centrípeta não é a adição vetorial da força gravitacional e da tensão, é a soma das forças que são direcionadas para o centro do círculo. Então, a força centrípeta é igual a tensão +$mg\sin\theta$ qual é $mv^2/R$.