A função contínua com derivada dini superior maior que 0 implica que a função está aumentando

Aug 17 2020

Deixei $f$ ser contínuo em $[a,b]$ com $\bar D f \geq 0$ (derivado de Dini superior de $f$) em $(a,b)$. Mostra isso$f$ está aumentando $[a,b]$. Dica: Mostre que isso é verdade para$g$ com $\bar D g \geq \epsilon > 0$ em $[a,b]$. Aplique isso à função$g(x) = f(x) + \epsilon x$.

Esta é a questão 19 do capítulo 6.2 da 4ª edição da Análise de Royden-Fitzpatrick.

Minha abordagem é a seguinte

  1. $g$ é contínua, pois é a combinação linear de 2 funções contínuas.
  2. $\bar D g = \bar D f + \epsilon \geq \epsilon > 0$ que significa $g$ está aumentando estritamente em $(a,b)$.
  3. $f = g - \epsilon x$ e $\bar D f = \bar D g - \epsilon \geq 0$ implica $f$ está aumentando (não está diminuindo) em $(a,b)$.

Isso faz sentido? Obrigado por qualquer ajuda. A questão também está relacionada à função contínua em$[a, b]$ com derivadas superiores e inferiores limitadas em $(a, b)$ é Lipschitz.

Respostas

2 Matematleta Aug 17 2020 at 07:27

Como você sabe disso $2$detém? Na verdade, essa é a essência da prova, a menos que eu esteja interpretando mal sua pergunta, você precisa trabalhar um pouco. (Desenhar uma imagem vai ajudar!) Primeiro, suponha que$\bar D f >0$ em $(a,b)$. Se houver$a<c<d<b$ de tal modo que $f(c)>f(d)$ então podemos escolher $f(c)>\mu>f(d)$. Deixei$S=\{t\in (c,d):f(t)>\mu\}$ e considere $\xi=\sup S.$ Observe que $c<\xi<d$. Faça uma sequência crescente$(t_n)\subseteq (c,d)$ de tal modo que $t_n\to \xi.$ Então, $f(t_n)\to f(\xi)$. E se$f(\xi)\neq \mu$ então há um $\mu<\alpha<f(\xi)$. Continuidade de$f$ agora implica que há um intervalo $I=(\xi,\xi+\delta)$ de tal modo que $t\in I\Rightarrow f(t)>\alpha>\mu$. Mas isso contradiz a definição de$\xi.$ Portanto, $f(\xi)= \mu.$

Nós mostramos que para cada $t\in (\xi,d),\ \frac{f(t)-f(\xi)}{t-\xi}\le0$, e concluímos que $ D^+ f(\xi)\le 0$, o que é uma contradição. Assim, a afirmação é verdadeira para a desigualdade estrita e$now$ nós definimos $g_{\epsilon}(t)=f(t)+\epsilon t$. Segue que$\bar D g_{\epsilon} >0$ em $(a,b)$ então $g_{\epsilon}$ não está diminuindo lá, e como $\epsilon$ é arbitrário, $f$ também não é decrescente.