A prova de Atiyah do espaço de módulos das conexões YM irredutíveis SD

Dec 16 2020

No artigo "Auto-dualidade na geometria riemanniana quadridimensional" (1978), Atiyah, Hitchin e Singer apresentam uma prova de que o espaço de conexões auto-duais irredutíveis de Yang-Mills é uma variedade de Hausdorff, e se não for o vazio definido, então a dimensão é dada por $$p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Onde $\chi(M)$ é a característica de Euler e $\tau(M)$ a assinatura.

EDITAR: Acontece que o artigo original continha um erro / digitação. Na verdade deveria ser$$2p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Fim da edição.

Embora eu adorasse ser capaz de entender o artigo completo, não estou em posição de fazê-lo ainda, estou apenas tentando entender o cálculo desta dimensão, porque estou interessado em algumas aplicações do Atiyah- Teorema do índice de Singer.
Para calcular esta dimensão, o seguinte é utilizado no artigo: Let$D:\Gamma(V_-\otimes E)\to\Gamma(V_+\otimes E)$ ser o operador de Dirac para um feixe de espinor com valores em algum feixe auxiliar $E$. Pelo teorema do índice,$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(E)\widehat{A}(M)$$ Na dimensão quatro, temos $\widehat{A}(M)=1-\frac{1}{24}p_1(M)$(mas onde isso é usado?). Para a prova, tomamos$E=V_-\otimes\text{Ad}(P)$. Então$\text{ch}(E)=\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)$. Até agora tudo bem. Eu perco o controle no seguinte cálculo:$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)\widehat{A}(M)\\ \color{red}{=p_1(\text{Ad}(P))+\dim G(\text{ind}(D'))}=\\ p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi-\tau)$$ Onde $D':\Gamma(V_+\otimes V_-)\to\Gamma(V_-\otimes V_-)$. Tenho tentado encontrar um resultado que explique a parte vermelha da equação, porque esta etapa parece completamente não trivial e, apesar disso, não é elaborada no papel de forma alguma, e eu não sou capaz de encontre todas as fontes que explicam esta etapa. Em Index of Dirac operator and Chern character of symmetric product twisting bundle, a resposta aceita parece dar uma resposta que vai de alguma forma explicar como esse resultado é obtido, em um caso muito particular. No entanto, não tenho muita experiência nesta área e não sei como generalizar o resultado para um princípio arbitrário$G$-pacote. Estou procurando uma explicação para o que precede, se alguém é capaz de fornecer sua própria resposta ou uma referência. Qualquer um seria muito apreciado.

Respostas

14 LiviuNicolaescu Dec 16 2020 at 05:29

Espero me lembrar bem disso. Meu orientador explicou esse cálculo para mim, nem quero pensar há quantos anos.

O complexo de deformação da equação SD é $\DeclareMathOperator{\Ad}{Ad}$

$$L=d_A^-\oplus d_A^*:\Omega^1\big(\, \Ad(P)\,\big)\to\Omega^2_-\big(\; \Ad(P)\;\big)\oplus \Omega^0\big(\;\Ad(P)\;\big). $$

A dimensão do espaço dos módulos das conexões autoduais é o índice desse operador. $\DeclareMathOperator{\ind}{ind}$ $\DeclareMathOperator{\ch}{ch}$ $\DeclareMathOperator{\hA}{\widehat{A}}$Este operador é obtido torcendo com $\Ad(P)$ o operador

$$ D=d^-+d^*:\Omega^1(M)\to \Omega^2_-(M)\oplus \Omega^0(M) $$

Esta é a operadora $D: \Gamma(V_+\oplus V_-)\to \Gamma(V_-\oplus V_-)$ no papel que você mencionou.

A teoria do índice Atiyah-Singer mostra que $\ind L$ é

$$\ind L= \int_M \big[\; \ch(\Ad(P)) \hA(X)\ch(V_-)\;\big]_4, $$

Onde $[--]_4$ denota o grau $4$ parte de uma forma diferencial não homogênea.

Nós deduzimos

$$\ch(\Ad(P))=\dim G +\ch_2(\Ad(P))+\cdots = \dim G+p_1(\Ad(P))+\cdots, $$

$$\ind L= \int_M \big(\; p_1(\Ad(P))+(\dim G)\rho_D\;\big) $$

onde o grau $4$ a partir de $\rho_D= [\hA(X)\ch(V_-)]_4$ é a densidade do índice de $D$ aparecendo no teorema do índice Atiyah-Singer $$ \ind D=\int_M \rho_D. $$

Desse modo

$$ \ind L=\int_M p_1(\Ad(P))+\dim G\ind D= \int_M p_1(\Ad(P))+\dim G(b_1 -b_2^--b_0). $$

Agora expresso $(b_1-b_2^--b_0)$ em termos de assinatura $\tau=b_2^+-b_2^-$ e a característica de Euler $\chi=2b_0-2b_1+b_2^++b_2^-$.