A prova de Atiyah do espaço de módulos das conexões YM irredutíveis SD
No artigo "Auto-dualidade na geometria riemanniana quadridimensional" (1978), Atiyah, Hitchin e Singer apresentam uma prova de que o espaço de conexões auto-duais irredutíveis de Yang-Mills é uma variedade de Hausdorff, e se não for o vazio definido, então a dimensão é dada por $$p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Onde $\chi(M)$ é a característica de Euler e $\tau(M)$ a assinatura.
EDITAR: Acontece que o artigo original continha um erro / digitação. Na verdade deveria ser$$2p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Fim da edição.
Embora eu adorasse ser capaz de entender o artigo completo, não estou em posição de fazê-lo ainda, estou apenas tentando entender o cálculo desta dimensão, porque estou interessado em algumas aplicações do Atiyah- Teorema do índice de Singer.
Para calcular esta dimensão, o seguinte é utilizado no artigo: Let$D:\Gamma(V_-\otimes E)\to\Gamma(V_+\otimes E)$ ser o operador de Dirac para um feixe de espinor com valores em algum feixe auxiliar $E$. Pelo teorema do índice,$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(E)\widehat{A}(M)$$ Na dimensão quatro, temos $\widehat{A}(M)=1-\frac{1}{24}p_1(M)$(mas onde isso é usado?). Para a prova, tomamos$E=V_-\otimes\text{Ad}(P)$. Então$\text{ch}(E)=\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)$. Até agora tudo bem. Eu perco o controle no seguinte cálculo:$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)\widehat{A}(M)\\ \color{red}{=p_1(\text{Ad}(P))+\dim G(\text{ind}(D'))}=\\ p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi-\tau)$$ Onde $D':\Gamma(V_+\otimes V_-)\to\Gamma(V_-\otimes V_-)$. Tenho tentado encontrar um resultado que explique a parte vermelha da equação, porque esta etapa parece completamente não trivial e, apesar disso, não é elaborada no papel de forma alguma, e eu não sou capaz de encontre todas as fontes que explicam esta etapa. Em Index of Dirac operator and Chern character of symmetric product twisting bundle, a resposta aceita parece dar uma resposta que vai de alguma forma explicar como esse resultado é obtido, em um caso muito particular. No entanto, não tenho muita experiência nesta área e não sei como generalizar o resultado para um princípio arbitrário$G$-pacote. Estou procurando uma explicação para o que precede, se alguém é capaz de fornecer sua própria resposta ou uma referência. Qualquer um seria muito apreciado.
Respostas
Espero me lembrar bem disso. Meu orientador explicou esse cálculo para mim, nem quero pensar há quantos anos.
O complexo de deformação da equação SD é $\DeclareMathOperator{\Ad}{Ad}$
$$L=d_A^-\oplus d_A^*:\Omega^1\big(\, \Ad(P)\,\big)\to\Omega^2_-\big(\; \Ad(P)\;\big)\oplus \Omega^0\big(\;\Ad(P)\;\big). $$
A dimensão do espaço dos módulos das conexões autoduais é o índice desse operador. $\DeclareMathOperator{\ind}{ind}$ $\DeclareMathOperator{\ch}{ch}$ $\DeclareMathOperator{\hA}{\widehat{A}}$Este operador é obtido torcendo com $\Ad(P)$ o operador
$$ D=d^-+d^*:\Omega^1(M)\to \Omega^2_-(M)\oplus \Omega^0(M) $$
Esta é a operadora $D: \Gamma(V_+\oplus V_-)\to \Gamma(V_-\oplus V_-)$ no papel que você mencionou.
A teoria do índice Atiyah-Singer mostra que $\ind L$ é
$$\ind L= \int_M \big[\; \ch(\Ad(P)) \hA(X)\ch(V_-)\;\big]_4, $$
Onde $[--]_4$ denota o grau $4$ parte de uma forma diferencial não homogênea.
Nós deduzimos
$$\ch(\Ad(P))=\dim G +\ch_2(\Ad(P))+\cdots = \dim G+p_1(\Ad(P))+\cdots, $$
$$\ind L= \int_M \big(\; p_1(\Ad(P))+(\dim G)\rho_D\;\big) $$
onde o grau $4$ a partir de $\rho_D= [\hA(X)\ch(V_-)]_4$ é a densidade do índice de $D$ aparecendo no teorema do índice Atiyah-Singer $$ \ind D=\int_M \rho_D. $$
Desse modo
$$ \ind L=\int_M p_1(\Ad(P))+\dim G\ind D= \int_M p_1(\Ad(P))+\dim G(b_1 -b_2^--b_0). $$
Agora expresso $(b_1-b_2^--b_0)$ em termos de assinatura $\tau=b_2^+-b_2^-$ e a característica de Euler $\chi=2b_0-2b_1+b_2^++b_2^-$.