Avaliando a expectativa de uma variável aleatória

Question

Deixei $v_1 ,..., v_n \in \mathbb{R}^n$ ser vetores unitários e linearmente independentes e $X_1,...,X_n$ variáveis ​​aleatórias independentes (em um espaço de probabilidade específico) de modo que cada $X_i$ tem uma distribuição Bernoulli de parâmetro $p_i \in [0,1]$.

a) Deixe $Y(w)= \sum _{i=1} ^n X_i(w) v_i$, calcule a expectativa de $Z$, Onde $Z(w)= || Y(w) -v ||^2$ com $v= \sum _{i=1}^n a_i v_i \in \mathbb{R}^n $.

b) Seja V =$ \{ \sum _{i=1}^n a_i v_i|a_i \in [0,1]\}$, mostre isso para qualquer $v \in V$ existe um $y \in V$ de tal modo que $|| y-v||^2\le \frac{ n}{4}$ e $y= \sum _{i=1}^n b_iv_i$, com $b_i \in \{0,1\}$. Dica: usando a).

Encontrei este exercício online e estou tendo alguns problemas para resolver o ponto b). Eu fiz o ponto a) escolhendo$( \mathbb{R}^n, B, P)$ como espaço de probabilidade, onde B é Borel $\sigma $-álgebra e P é igual à medida do produto de $X_i$distribuições. Eu descobri que a expectativa de Z é\begin{align}&\sum _{i=1}^n \| (1-a_i)v_i + \sum_{j=1, j \neq i}^n (-a_j)v_j\|^2 p_i \prod_{j=1, j \neq i}^n (1-p_j)\\&+\sum _{i,j=1,i<j}^n \|(1-a_i)v_i +(1-a_j)v_j+ \sum _{k=1, k \neq i,j}^n (-a_k)v_k\|^2 p_i p_j \prod _{k=1, k \neq i,j}^n (1-p_k)+\dots\\&+\|\sum_{i=1}^n (1-a_i)v_i\|^2 \prod_{i=1}^n p_i .\end{align}

Gostaria de saber se a minha solução do ponto a) está correta e receber alguns conselhos sobre o ponto b).

Obrigado

Answer 1

Acho que o ponto b é o principal problema do exercício e pode ser provado da seguinte maneira.

a)) Deixe $y=\sum x_i v_i$, Onde $x_i=1$ com probabilidade $p_i$ e $x_i=0$ com probabilidade $1- p_i$, de forma independente.

Então

$$\|y-v\|^2=\|\sum (x_i-a_i)v_i\|^2=\sum_{i,j=1}^n (x_i-a_i)(x_j-a_j)(v_i,v_j). $$

então $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_ip_j(1-a_i) (1-a_i)-p_i(1-p_j)(1-a_i)a_j-(1-p_i)p_ja_i(1-a_j)+(1-p_i)(1-p_j)a_iaj_j)(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i(1-a_i)^2+(1-p_i)a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left(\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i, \sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right) -\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left\|\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right\|^2+ \sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i).$$

b)) Escolha $p_i=a_i$ para cada $i$, nós obtemos isso $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i)=\sum_{i=1}^n p_i-p_i^2\le \sum_{i=1}^n \frac 14=\frac n4,$$ o que implica o ponto b.