Base para $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ implica axioma de escolha?

Nov 27 2020

Deixei $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ denotam o espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$de sequências de números reais, com multiplicação e adição definidas por componente. É bem sabido que embora o subespaço$\mathbb{R}^\infty$ de sequências com apenas um número finito de termos diferentes de zero tem uma base $\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0, 0, \ldots), \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0, 0, \ldots)$, esta não é uma base de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ (expressando a sequência constante $(1, 1, 1, \ldots)$ exigiria uma soma infinita $\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 + \cdots$, e somas infinitas em espaços vetoriais genéricos são indefinidas). Também foi provado que a afirmação de que todos os espaços vetoriais têm uma base é equivalente ao axioma da escolha.

Estou interessado, no entanto, no espaço específico $\mathbb{R}^\mathbb{N}$. Foi provado que uma base para este conjunto requer o axioma da escolha e não pode ser descrito explicitamente? Esta não é uma questão de lição de casa nem nada; Eu só estou curioso.

Respostas

3 AsafKaragila Nov 27 2020 at 07:50

Nenhum conjunto único de concreto admitindo uma certa propriedade implicaria no axioma da escolha. Período. O axioma de escolha é uma declaração global, e as declarações sobre um conjunto com uma certa propriedade são locais (não estou falando sobre uma declaração global, por exemplo, "Para cada conjunto$A$, $A\times X$ pode ser bem ordenado "implica o axioma de escolha para qualquer conjunto fixo $X$, isso é batota).

Sempre podemos ter o axioma da escolha falhando, tanto quanto queremos que falhe, enquanto os números reais, e cada conjunto com que você se importou, podem ser bem ordenados de modo que todos os espaços vetoriais "que importam" tenham um base. Em outras palavras, o axioma da escolha é uma afirmação global, portanto sua negação não é sobre um conjunto. É sobre a existência de um contra-exemplo.

(Na verdade, nem sabemos se existe um campo $F$ de modo que "Todos os espaços vetoriais sobre $F$ ter uma base "implica o axioma da escolha; falar de declarações globais disfarçadas de declarações locais.)

Por outro lado, é consistente que todo conjunto de reais possui a propriedade Baire, o que implica que todo conjunto linear $T\colon\Bbb{R^N\to R^N}$é contínuo. Infelizmente, sendo um espaço separável, só pode haver$2^{\aleph_0}$funções contínuas; mas podemos facilmente mostrar que uma base de$\Bbb{R^N}$ deve ter tamanho $2^{\aleph_0}$ também, e, portanto, haveria $2^{2^{\aleph_0}}$funções lineares apenas induzidas por permutações de tal base. E assim, de fato, se todos os conjuntos de reais têm a propriedade Baire, nenhuma base para$\Bbb{R^N}$ pode existir.