Bolzano-Weierstrass e zeros de função analítica complexa
Estou trabalhando em um exercício de livro didático. Uma pergunta semelhante: uma função analítica em uma região compacta tem um número finito de zeros , mas não está muito claro para mim e possivelmente também tenho outra abordagem? Eu quero provar basicamente a mesma pergunta, que se$f$ é analítico por dentro e em um contorno fechado simples $C$ (exceto possivelmente para postes dentro $C$), e se todos os zeros de $f$ estão dentro $C$ e de ordem finita, então os zeros devem ser finitamente muitos.
Espero que minha tentativa abaixo possa ser verificada ou corrigida.
Minha tentativa:
Suponha o contrário. Em seguida, por Bolzano-Weierstrass, o conjunto$S$ de todos os zeros de $f$ (que é infinito) contém um ponto de acumulação dentro $C$. Vamos dizer que é$z_0$. este$z_0$ também é um zero de $f$ uma vez que é o limite de uma subsequência de zeros em $S$ e $f$é analítico (portanto, também contínuo). Por suposição, é um zero de ordem finita, digamos$m$.
Eu afirmo que em qualquer bairro $N$ do $z_0$, $f$não pode ser igual a zero. Para ver isso, escreva$f(z)=(z-z_0)^mg(z)$ Onde $g$ é diferente de zero e analítico em $z_0$. Portanto, por essas propriedades de$g$, há uma vizinhança ao redor $z_0$ (interseção com $N$) Onde $g$é diferente de zero. No entanto, esta vizinhança contém outro zero (diferente), digamos$z'$, do $f$por definição de ponto de acumulação. Conseqüentemente,$0=f(z')=(z'-z_0)^mg(z')$, implicando que $g$ pode ser zero neste bairro, uma contradição.
Agora, por um teorema no livro, uma vez que $f$ é analítico e zero em $z_0$, mas não identicamente zero em qualquer vizinhança de $z_0$, deve haver uma vizinhança excluída de $z_0$ Onde $f$é identicamente diferente de zero . Mas, novamente, neste bairro excluído contém um zero de$f$, diga $z''$, por definição de ponto de acumulação, contradizendo $f$sendo identicamente diferente de zero lá. QED.
Então, minhas perguntas seriam:
O acima é válido? Se não, que parte deve ser melhorada?
Existem outras abordagens?
Normalmente, Q2 é mais interessante, mas eu agradeço muito se Q1 também for respondida. Muito obrigado!
EDIT: Agora que penso nisso depois de algumas entradas de comentários:
Meu primeiro parágrafo deve estar bem.
- Quanto ao meu segundo parágrafo até a conclusão, eu deveria fazer assim:
Como $z_0$ está em ordem $m$, nós podemos escrever $f(z) = (z-z_0)^m g(z)$ Onde $g$ é analítico e diferente de zero em $z_0$. Por continuidade de$g$ e sendo diferente de zero em $z_0$, há uma vizinhança em $z_0$ Onde $g$é identicamente diferente de zero. Excluindo$z_0$ lá, $f$é diferente de zero nessa vizinhança excluída. No entanto, isso contradiz o fato de que$z_0$é um ponto de acumulação de zeros. Feito?
OU
- Outro método, também posso dizer: qualquer um $f$ não é identicamente zero em qualquer bairro $N$ do $z_0$ , ou $f$ é identicamente zero em algum bairro $N$ do $z_0$. Para o primeiro, meu terceiro parágrafo original segue para concluir. Para o último, pelo teorema da identidade$f$ deve ser igual a zero dentro $C$. Por analiticidade, seus derivados de toda ordem são zero, mostrando ordem infinita. Feito?
Respostas
Proponho o seguinte: vamos provar que se uma função $f$ é analítico na região $R$ consistindo em todos os pontos internos e em um contorno fechado simples $C$, exceto possivelmente para postes dentro $C$, e se todos os zeros de $f$ dentro $R$ são interiores para $C$e são de ordem finita, então esses zeros devem ser de número finito. Acho que devemos adicionar a condição de$\;f\;$ não é identicamente igual a zero em qualquer subconjunto não trivial aberto, conectado de $\;R\;$. Isso é de um livro (já encontrei um artigo sobre isso de 1981 ...) que ainda não consigo localizar e parece ser algo muito próximo do que você realmente deseja. Observe que as condições acima para a função$\;f\;$ na verdade, diga o meromórfico da função no domínio delimitado por $\;C\;$ .
Prova: suponha que existam zeros infinitos$\;\{z_1,z_2,...\}\;$ do $\;f\;$ dentro $\;C\;$. Então, por Bolzano-Weierstrass, existe$\;z_0\;$ em $\;R\;$ st $\;\lim\limits_{n\to\infty}z_n=z_0\;$. Por continuidade de$\;f\;$ , nós entendemos isso $\;f(z_0)=0\;$ , também.
Uma vez que estamos assumindo todos os zeros de $\;f\;$ em $\;R\;$são de ordem finita e isoladas , existem$\;m\in\Bbb N\;$ st $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ , em algum bairro aberto $\;U\;$ do $\;z_0\;$ e para alguma função meromórfica $\;g\;$ st $\;g(z)\neq0\;\;\forall\,z\in U\;$. Já que os possíveis pólos de$\;f\;$ dentro $\;C\;$ estão isolados, podemos tomar um bairro $\;V\;$ do $\;z_0\;$ onde não há pólos de $\;f\;$ dentro $\;V\;$ , e pegue a relação acima $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ dentro $\;U':=U\cap V\;$, e desta vez $\;g\;$é diferente de zero e analítico em$\;U'\;$ .
Assim, estamos quase no fim, desde então, pelo teorema da identidade das funções analíticas, obteríamos que $\;f\;$ seria identicamente zero em alguma vizinhança conectada de $\;z_0\;$ , uma vez que este ponto é um ponto de acumulação de um conjunto onde $\;f\;$ e a função zero coincide, e isso contradiz a condição adicional adicionada acima.